Miiintonaiit de 

 oh obtient 



AI. Falk, 



-^ = V'.r{x, v) + i>!''Xx, y) 



z ^= X -^ yl 



ds = dx -\- idy . 



En vertu de eette dei-nière écj^nation et des identités (4) les équations 

 précédentes donnent 



-r^ dx + ^^% = [(l'',r{x; y) + i'P'^x, y)] dz . 

 ex ôy 



Mais F{z) étant fonction de x et de y on a, d'après les règles ordinaires 

 de differentiation des fonctions réelles de deux variables indépendantes 



Cette équation jointe à l'équation (S) réduit la précédente à 



(10) dF{z) = F'{z)dz, 



laquelle démontre bien le théorème. 



S. De la définition donnée et des expi^essions obtenues pour la dé- 

 rivée de F{z), il suit qu'elle est fonction de x et de y. Mais de ces circon- 

 stances seules il ne suit pas qu'elle est fonction de s, c'est-a-dire de la seule 

 combinaison x -\- yi, et sans cela la notation F'(2) ne serait pas juste. Mainte- 

 nant nous allons démontrer que la dérivée de F{z) s'exprime en fonction 

 de la seule variable z, au moins si les dérivées partielles de jr et de '/' du 

 second ordre sont continues au point considéré. 



En effet, désignons par V l'expression 



fai^, y) + ?'v^'.,('^, y) 



qui représente la dérivée de -F(.?), et par V' ce cpie devient cette expression 

 en y portant la valeur de x tirée de l'équation 



x^= z — yi . 



La proposition sera donc vraie, si V ne contient pas // explicitement ou, 

 ce qui revient au même, si l'on a 



