14 .M. Falk, 



(« + l)"■'"'^ doivent être coiithuies daits tous les points de la lii/iie droite (j/ii 

 joint le imnt Çc, y) au iwint {.t-\-h, 1/ -\- k) et aussi dans ces points extrêmes. 

 Cependant il n'est pas absolument nécessaire que la continuité des dérivées 

 partielles du {n -\- 1)"^^™'' ordre subsiste dans ces mêmes points extrêmes, mais 

 seulement dans chaque point intermédiaii-e de la droite de jonction. 



En ajoutant les équations que nous venons d'obtenir, après avoir 

 multiplié la dernière [)ar i, et en faisant usage des formules (1) 



F{ß) = <f{t, II) + i<lix, y) , 



F{z + A~^) = f (.c + h, Il + k) + /'/■(.'• + /', // + /.•) , 



où nous avons posé 



2 = x-\-yi, 11,3 =■- h -{- kl , 

 nous ol)tiendrons 



f (. + A.) ^ Fi,) + [1,1 + /,.1)f(.) + J^(;,,l + 4J";.V) + . . . 



où 



^ - ^i[^% + 4/)"'^"f^'(-' + ''^'' -" + '^^''^ + ''''^'' + ^'^'' ■" + ^'^'")^ ■ 



Maintenant réduisant cette formule au moyen des équations (lö), (17) et 

 (18), il vient, à cause de /\z -^ Ji -\- kl , 



(19) F{, + A~^) = F{z) + ^F(^ + ^F"(.) + . . . + yF-iz) + B , 



li ayant la même valeur qu'auparavant. 



A cause des conditions auxquelles doivent satisfaire ^'■, </' et leurs 

 dérivées, cette formule (19) sera vraie, si la fonction F(z) et toides ses déri- 

 vées jusqu'à celle du [n + 1)''^"'« ordre sont cordimies dans tous les points de 

 la droite joignant le point (.r, y) au point (.c -\-li, y -\- k). Quant à la dérivée 

 2?c«+i)^y~j ou, ce qui revient au même, quant aux dérivées partielles de (p 

 et de '/' du (u + 1)'''°'"' ordre, il n'est pas absolument nécessaire qu'elles 

 soient continues au point même [£-\-li, y-\-k), mais leur continuité doit 

 subsister dans le point (.r, //), puisqu'il ne serait pas permis de faire usage 

 de la formule (IS), si cette dernière condition n'était pas remplie. 



