Sur les Fonctions Ijeaoixaires. 15 



L'équation (19) n'est autre chose que la formule de Ta}4or étendue 

 aux fonctions imaginaires et avec une formule (analogue à celle qu'à donnée 

 Lagrange dans le cas des fonctions réelles) du reste de la série arrêtée à 

 un certain terme. 



. § 5. 



Vraie valeur des expressions qui se présentent sous la forme - . 



13. Soit a une quantité donnée, l'éelle ou imaginaire, et proposons- 

 nous de- trouver la valetu" que prend pour z = a l'expression 



m 



les fonctions F{ä) et f{s) étant telles qu'on a à la fois 

 (20) F{a)==0, /■(«)- 0. 



Nous supposons les fonctions continuf;s pour 7J = a et douées de dérivées. 

 D'abord nous supposerons aussi que /"'(«) ne soit pas zéro. Aloi^s on a 



,. F(z) y F{a+l^a) 

 lim -^ = lim —^ — ( 

 z=a m A« = o f{a + A«) 



ou, en vertu de (20), 



F{a-i- l\a) — F{a) 



,. F{z) y A« F (a) 



lini — ^-^ = uni = — -^-^ 



.=a m A« = o /'(rr,+ A.) -/(».) f'{a) 



A« 



c'est-à-dire 



(2 1 ) lim —"-^ = lim -^ . 



Cette formule est donc démontrée dans la supposition que f'{a) ne soit 

 pas zéro. 



Procédons maintenant au cas général et supposons les fonctions F{s) 

 et f{z), ainsi que leurs dérivées jusqu'à celles de l'ordre w'""", continues au 

 point z^=-- a et en chaque point intérieur à un contour fermé, si petit 

 c|u'on veuille, décrit autour du point z = a. Supposons de plus c|u'on ait 

 à la fois 



