IS i\l. Fai,k, 



Nous n'a\'niis [);is Ixv-d'hi (l'entrer ici sin- l:i qiustion, si iiiic foiictidii 

 f|ui a los ])roprictés que nous avons supposées dans ce memoire! pourra 

 avoir des infinis dont l'exposant n'est pas entier. Cotte supposition étant 

 indispensable dans l'analyse que nous ferons dans la suite, nous n'entrerons 

 pas dans ce sujet. Cette ([uestion est d'ailleurs discutée dans la plupart des 

 Traités sur les fonctions imaginaires. 



15. De ce que nous venons de dire, il suit conime caractère d'un 

 oi/iiil (lu ui''""' ordre de F(^z) que la fb)icfio» 



{z - ctYFiz) 



sera continue dans Thitf rieur d'un petit contour drcrit autour du point .: = a 

 et (pu à la même fois cette expression aura pour z = a une seule cuteur tiinite 

 finie et différente de zéro. 



1 6. De l'équation 



F{z)=^{z-ay"<f{^ 



on obtient par r differentiations successives 



f^-^\z) 



F'\^ = S(- 1)'('-)."'('" + 1) • ■ • ("' + /'■- 1: 



iz-a)"'-^ 

 Multipliant par {z — ff)"'+'', nous en obtiendrons 



(25) {z-ar^'-F'\z) = S(_iy(r),,«(m+1) . . . (,» + /,_ 1 )(,-«,) -V'-'(^) • 



/!-=n 



Comme (z — «)^"'" * est continue dans toute l'étendue du plan, à l'exception 

 du point z = a sei;l, l'expression de F^''\z) nous montre que cette dérivée 

 est continue tant que les fonctions ç{z), (f'{z)j . . . , ^"''(^) existent et sont 

 elles-mêmes continues. Dans cette supposition à l'égard de (f[z) et de ses 

 dérivées, l'équation (25) nous montre (pue F^''\z) est continue dans l'intérieur 

 d'un petit contour décrit autour du point s = a, mais pue cette dérivée a un 

 infini de l'ordre [n -\- j-)'""^ au point z ^= a même. 



En effet, l'équation (25) donne, en passant à la limite pour z = a, 



lim 



[{.-art-F^'Xz)] = (- lym^m + 1) . . . {m + r- l)çr(«). 



