Sur les Fonctions Lmaginaires. 21 



et si les fonctions ~ (f{£) , (f'is),..., ^'■"'\z) sont continues dans l'intéfieur d'un 

 petit contour décrit autour du point 3 = a, f{z), la fonction réciproque de F{s), 

 et ses dérivées f'{s), f"{2), ■ ■ -, f^"'\2) seront aussi continues dans l'intérieur du 

 même contour. 



Au contraire, si l'on a 



c'est-à-dire, si F(i) pour 2 = b est infiniment petit du /j"""' ordre (h étant 

 entier), la fonction réciproque f(z) aura dans ce point un iniini du »^''""'' 

 ordre, et la natm-e de ses dérivées dans ce point sera alors décidée par ce 

 que nous avons dit au numéro 16, c'est-à-dire que ces dérivées seront toutes 

 infinies dans le point s ^ h. 



La fonction F{z), ayant, comme nous venons de le voir, dans chaque 

 point intérieur au contour décrit autour du point z ^^ a, à l'exception de 

 ce point même, une valeur unique et finie, est, selon les dénominations de 

 MM. BuioT et Bouquet, monotrope à l'intérieur du contour, à l'exception du 

 point même. Ayant de plus dans chacun de ces mêmes points une dérivée, 

 elle y est aussi liolomorplw. Le point d'infini 2 = a en est un jjô/e, et la 



fonction réciproque f[z) = -—r^ demeurant holomorphe dans les points in- 

 térieurs au contour [aussi dans le pôle même], la fonction F(z) est niéro- 

 morplie à l'intérieur du contour. 



Chap. IL 



LNTRODÜCTION AU CALCUL DES RÉSIDUS. APPLICATION AU 

 DÉVELOPPEMENT D'UNE FOî^CTION EN SÉRIE. 



§ 7. 



Méthode de faire disparaître d'une fonction la partie qui devient 

 infinie dans un point donné. 



20. Après cette courte exposition de quelques théorèmes sur les 

 fonctions imaginaires, dont il nous faut faire usage dans la suite, nous 

 passerons maintenant à l'important problème de rendre holomorphe en un 



