22 M. Falk, 



pc'ilt' (loiiiic une foiK'tidii (|ui vu vv point t'st iiii'i'oiiiDi'plu' et 8ans y intro- 

 duire de nouveaux pôles. C'est là. ee que nous ferons en résolvant le pro- 

 blème suivant: 



F(z) ayant un imJe au point 2 = a et remplissant les conditions du § 

 6, trouver une fonction ^'(z) holoniorplie dans toute l'étendue du plan, à fe.rccp- 

 tion du point s =^ a, et en même temps telle que la différence 



F(.)-V'(.) 



ait une valeur unique et finie pour z = a. 



Comme dans le paragraphe préeédent, nous supposerons que l'on ait 



m = 



:<' 



m étant un nombre entier donné et ç(z) ayant avec ses dérivées les pro- 

 priétés que, dans les numéros 15 et 16, nous leur avons supposées. La 

 fonction V'(.^) doit être choisie en sorte que 



lim ! F{z) — H'{2) I 

 ou, ce qui revient au même, 



(29) lim f{^)-{^-<H^) 

 z = a {z — a)"' 



ait lUie valeur uuiqut' et unie. 



Le dénominateiu" de cette fraction devenant zéro pour z = a, il faut 

 évidemment que 



(30) lim j {z^aYf{z)\=^<f{a), 

 z = a \ I 



d'on, en vertu du numéro 15, il suit (ju'on doit avoir 



n{z) 



(31) ri.{£) = 



{z-aT' 



Tiiz) étant ime fonction holomorphe dans toute l'étendue du plan et ayant 

 pour z ==^ a une valeur diftérente de zéro. Il suffit donc de chercher cette 

 dernière fonction, et les équations (30) et (31) nous donnent comme une 

 première condition qvi'elle doit remplir 



(32) , ^a)^<p{a). 



