Sur les Fonctions Imaginaires. 23 



Cela supposé, la méthode du numéro IB s'applique au quotient 



lin, yW-<') 

 résultant de (29) et de (31); donc sa valeur sera aussi exprimée par 



(33) Hm ^y^~;g . 



De cette formule il résulte qu'on doit avoir 



(34) 7:\a) = <f'{a) , 



si m est > 1 , et en même temps la vraie valeur du quotient (33) sera 

 aussi exprimée par 



= „ m{in—\){s — aY - 

 Continuant ainsi, on trouvera successivement les conditions 



7r"(ff) = <f"{ci) , 



(35) 



et l'expression suivante de la vraie valeur de (29) 



(•^ß) ^ ' 



laquelle sera finie et déterminée, si la fonction - satisfait en outre à la 

 condition que Â^"''(rt) doit avoir une valeur unique et finie. 



Il suffit évidemment que la fonction - satisfasse aux équations 

 (32), (34) et (35), et qu'elle ait, jusqu'au ^w'^"" ordre, des dérivées continues 

 pour z = a. Une telle fonction s'obtient aisément de la manière suivante. 



On satisfait évidemment à la dernière des équations (35) en posant 



(37) ^'"-^\z) = f-^\a) . 



Aussi l'expression (36) aura alors la valeur entièrement déterminée 



Im 



En cherchant les fonctions primitives des deux membres de l'équation (37), 

 on obtiendra à cause de l'avant-dernière des équations (35) 



