Sur les Fonctions Imaginaires. 27 



Remarque. En remplaçant dans (13) 77 — ; — r par F(a 4- v) , on 

 obtient 



1 i="'-i / flu" 



- [v"'+'F{a + v)] 



■a)* 



23. Dans le numéro 16 nous avons prouvé qu'en général F(£) et 

 ses dérivées seront toutes infinies au point ^ = «. Maintenant nous démon- 

 trerons que les dérivées de la différence 



ainsi que, comme nous le savons déjà, cette différence elle-même, seront en 

 général toutes finies et détemninées pour s ^ a. 



En effet, conservant les notations déjà adoptées, posons 



(45) ¥{s) = F{z)-^{^ 



et 



(46) U= <f{z) - ^ia) - '-=^ ,v(«) _ ^-^F"(«)- • • — ^^-^^"'-^'(«); 



donc, en vertu de l'équation (39), on aura 



V 



(47) '/■(.) 



De cette équation on obtient par r differentiations successives 



(48) r%^)= S(— l)Xr)M"^+ ])...(»i + /o— 1) 



(.-«)" 



Des équations (47) et (48) on déduira maintenant les quantités '/''(a) et 

 '/'■<'■'(«) en passant à la limite pour a, = a. Puisque U et ses m — 1 pre- 

 mières dérivées s'annulent pour z = a, comme on le déduit sans difficulté 

 de l'équation (46), la méthode du numéro 13 doit être appliquée au second 

 membre de (47) afin de trouver la valeur de '/'"(a). De cette manière 

 on aura 





ou, en vertu de 



