Sur les Fonctions Imaginaires. 29 



V - §"(— iy^>%{m—l)m{m + 1) . . . {m + k—2){z — a)''-'m'-+'''\ 



Par la differentiation de cette équation et par des réductions analogues, 

 nous obtiendrons sans difficulté 



F" = 's (— l)\r),{m — 2) {m — 1) . . . (m + A: — 3) (.- — a)"-'^ î7('-+=-« . 



Ces formules sont deux cas spéciaux de Téquation 



(53) F^' = 'ä{—mr%(:m—p){m—p+ 1) . . . {m+l-—p—l){z—af-'m''-'^-'^ , 



laquelle se démontre sans difficulté en passant de j; à p -\- l. 



Comme le terme correspondant à k = a pour coefficient l'unité 

 dans toutes ces éc[uations, on obtient de (53) en faisant jj = m 



(54) F'»> = (^ — a)'-f7<"'+'-), 



puisc[ue les coefficients des autres termes de la somme deviennent tous nuls. 

 Maintenant supposant les dérivées de ^ continues pour z = a, les 

 dérivées correspondantes de U le seront aussi, puisqu'on a d'après réc[ua- 

 tion (53) 



?7""+'-> = ç("'+^>(.-) . 



Donc F*"' sera continue pour s ^ a et, par conséquent, on conclura des 

 équations (52) et (54) 



(o 5) I ^ = -. — -^ = i — — / -n^. [(« — «) • 1' («)] • 



\ / Kj. \7ti + r mi + r I cm 



Les formules (50) et (55) démontrent que '/'(«) et ¥'-''\a) auront des valeurs 

 finies et déterminées, si la fonction (fiz) et ses dérivées jusqu'à celle d'ordre 

 iin + r)'™° sont continues pour s = a. 



§ 8. 



Remarque sur le développement d'une fonction en série indéfinie 

 d'après la formule de Taylor. 



24. Quand on ne s'appuie pas sur le théorème fameux, dix à Cauchy, 

 de la possibilité de développer une fonction en série indéfinie, on est obligé 

 de s'assurer que les fonctions fr et '/' et toides leurs dérivées partielles sont 



