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continues dans tous les points de la ligne droite joignant le point (r, i/) 

 au point (,c + /(, y + /'') [luissi dans ces points extrêmes mêmes] et de plus 

 que les restes des séries ont pour limite zéro pour n= oo, si Ton veut 

 faire tendre n vers l'infini dans les deux premières équations du numéro 12. 

 Mais si ces conditions sont remplies, les séries obtenues seront nécessaire- 

 ment convergentes et représenteront les fonctions ^{.v -j- //, >/ + Je) et 

 f(£-{-Ji, v/ + />•). A ces mêmes conditions on pourra donc aussi faire tendre 

 n vers l'infini dans l'équation (19), ce cj[ui donne 



(56) F{z + A,) = F{^ + ^F'(^ + ^ F"{z) + ... . 



Cette série sei-a convergente et représentera F(3 -\- A^), si F{2) et toutes ses 

 dérivées sont continues dans tous les points de la droite dont les extrémités 

 sont les points déterminés par ^ et ^ + ^^ ^t Q.'-'-G de plus on ait 



lim R=0, 



îi = 00 



le reste B étant, comme au numéro 12, donné par l'équation 



(57) B = T-^(h^ + le ^Y''[çi.c + &]i, Il + m) + /V'(.r + ;//, // + A/,-)] • 

 ^ ' w + 1\ c\*' cil) 



Des équations (56) et (57) on oljtiendra, comme à l'ordinaire, la formule 

 de Maclaurin étendue aux fonctions imaginaires, en posant ^^ = et en 

 remplaçant ensuite A^ par s. 



25. Si la fonction F{z) a pour z=0 un infini de l'ordre «i''^'"", elle 

 ne peut nullement être développée en série indéfinie par la formule de 

 Maclaurin. Mais si l'on en chasse ce pôle h, l'aide de la méthode du nu- 

 méro 20 et cju'on obtienne par cela une fonction ¥{z) qui, ainsi que toutes 

 ses dérivées, est continue dans tous les points de la droite allant du point 

 ^ ^ au point déterminé par la valeur de z qui doit entrer dans le dé- 

 veloppement, et qu'enfin le reste B ait pour limite zéro, on pourra appliquer 

 la formule de ^laclaurin à la fonction U'\z), ce qui donne 



(58) '/'(.) = W{ß) + £ '/'-'(O) + ^ V'" (0) -f . . . . 



Maintenant le pôle de la fonction F{z) étant à l'origine, on devra faire 

 rt^O dans les formviles (24), (39), (50) et (55). On obtient par cela 



