12 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



första af desamma ha blifvit framställda af Weierstrass, Dini, 

 Hermite och Schering. Ingen synes dock hittils ha observerat, 

 att sagda teorem endast utgöra det första steget inom en långt 

 allmännare teori. Detta har dock af mig blifvit påpekadt så- 

 väl i Ofversigten för den 12 December 1877 som ock, ehuru 

 endast antydningsvis, uti mitt bref till Hermite. Uti en följd 

 af uppsatser, hvilka jag skall tillåta mig att förelägga Akade- 

 mien, vill jag att börja med utveckla, hvilken betydelse mina 

 teorem ha för den allmänna teorien för de entydiga monogena 

 funktioner, hvilkas singulära ställen, enligt Cantors terminologi, 

 utgöra en värdemängd af första slaget '). Härefter skall jag 

 också undersöka i livad mån mina satser kunna bringas att om- 

 fatta ännu allmännare klasser af entydiga monogena funktioner. 



Jag skall att börja med framställa ett hufvudteorem, pä 

 hvilket det är möjligt att uppföra hela teorien för de funktioner, 

 hvilkas singulariteter bilda en värdemängd af första slaget. 

 Teoremet lyder: 



»Låt oss som gifna antaga 



1) en oändlig serie af bestämda ändliga storheter 



hvilka alla äro olika hvarandra, och hvilka dessutom äro under- 

 kastade villkoret 



lim a, = oo 



V = 00 



samt 



»Ch. Hermite. Sur quelques points de la théorie des fonctions. Extrait 

 d'une lettre de M. Hermite å M. Mittag-Leffler». Acta Societatis Scientia- 

 rum Fennicae. Tom. XII, samt Journal für die reine und angewandte 

 Mathematik. Bd. 91. 



»Ernst Schering. Das Anschliessen einer Function au Algebraische Func- 

 tionen in unendlich vielen Stellen». Abhandlungen der Königl. Akademie 

 der Wissenschaften zu Göttingen. Bd. XXVII. 1880. 

 »Ch. Hermite. Sur une application du théoréme de M. Mittag-Leffler 

 dans la Theorie des Fonctions». Acta Societatis Scientiarum Fennicae. 

 Tom. XII. 

 ') »Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen 

 Reihen. Halle. 1 December 1871». Math. Annalen. Bd. V pag. 128 sqq. 



