14 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



Låt oss på ett godtyckligt sätt framställa en oändlig serie 

 af positiva tal - 



^1 ^2 ^3 > 



hvilkas summa är ändlig samt dessutom ett positivt tal a < 1. 

 Låt oss härefter, om man har (a v = 0), sätta 



Om a icke är noll, utvecklar inan, hvilket alltid är möj- 

 ligt, G \ — - — i * en potensserie, \ A ( — )' hvilken konver- 



u = O 



serar så snart man har — < 1. Det är härefter alltid möi- 



Kl 



ligt att finna ett helt tal m v tillräckligt stort för att absoluta 



CO u 



\H {v) l x \ 



beloppet till serien \ A \~\ skall 



vara < s så snart | — j < 



fA, ""1" 



11= m v 



Sedan man funnit detta tal m, , sätter man 



m v — 1 fl 



fl = o 

 Serien \ F t (x) är då en funktion, sådan som den sökta, 



v = i 



så att man kan sätta 



v = 1 



Beviset för detta påstående kan ordagrant föras så som i 



00 

 Weierstrass afhandling. Man visar först, att serien \ F v ( x ) 



„ = 1 



för en omgifning af hvarje ställe x , hvilket icke tillhör ställena 

 a x a 2 a 3 eller är stället 00 , är en likformigt konver- 

 gerande serie, och således kan uttryckas underformen fJ(<# — a ), 



