ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖKHAXULINGAK 1 882, N:0 2. 15 



00 



samt bevisar härefter, att serien \ F,(x) — F ,{x) för en oin- 



V = 1 



gifmng af (x = a ) på samma sätt är en likformigt konver- 

 gerande serie, och derföre kan uttryckas under formen fJ^r — a v ), 

 hvarigenom man åter erhåller 



V F,(,x) = Fri*) + *(* - a. v ) = G v ,[^-) + p r {x - %.). 



v = 1 



Om G{x) nu betyder en hel funktion, hvilken som helst, 

 af x, så har funktionen 



F(x) = F(x) + G(x) 

 uppenbarligen samma egenskaper, hvilka vi funnit hos F(x). 

 Om åter F(x) och F(x) äro tvenne funktioner med dessa egen- 

 skaper, så är deras differens tydligen en hel funktion af x. En 

 dylik funktion kan alltid på mångfaldiga sätt bringas under 

 formen 



00 



z 



■v = 1 



hvarest g^{x\ 9i( w ) , > 9s^ x ) äro hela algebraiska eller 



transcendenta funktioner af x. Man har derföre uti serien 



00 



L 



{^» + <7»} (2) 



i hvilken \ g v (x) är lika med en arbiträr hel funktion af x, 



v = 1 



ett uttryck, hvilket omfattar alla funktioner med de begärda 

 egenskaperna. 



Om en funktion F(x) blifvit förelagd, hvilken har den ka- 

 rakter, som i mitt teorem angifves, så kan densamma således 

 alltid framställas under den ofvanstående formen 



00 



5> 



<» + g^) 



i\\ 



