16 MITTAG-LEFFLEIt, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



CO 



Funktionen \ g v (x), är härvid fullständigt gifven, så snävt 



* = i 

 blott F(x) samt talen m x m 2 . . . . m v .... uti funktionerna 



F x {x) F 2 (x) . . . F„(#) äro gifna, Jag vill nu fram- 



00 



ställa en omfattande metod, genom hvilken funktionen \ g (x) 



v = 1 



i detta fall verkligen kan framställas. 



Låt n vara ett gifvet positivt helt tal och låt <S vara be- 

 gränsningen af en enkelt sammanhängande yta i det plan, hvil- 

 ket geometriskt åskådliggör området för en variabel z, samt låt 

 linien *S innesluta ställena z = O samt a A a 2 a 3 . . . a . Låt oss 



med I förstå integralen längs linien <S och med I integralen längs 



en cirkelperiferi, hvars medelpunkt är a, och hvilken utom a icke 

 innefattar något singulärt ställe till funktionen under integral- 

 märket. 



Man har då, om x är en punkt inom området för variabeln z, 

 hvilken icke är noll, och hvilken är belägen innanföre den till 

 variabeln zi område hörande linien S, och om med m förstås 

 ett positivt helt tal: 



JW M . dz = fjw h\. dz + fjwi±\ . dz + 



z — x \z I J z x \z I J z — x \z ! 



+ \ I **«> l*\.dz. 



/ j J z — X \ z J 

 v = 1 



Om stället (z = 0) tillhör ställena a x a 2 . . a n , är detsamma 

 härvid icke inbegripet under summationstecknet. Jag antager 

 också att börja med, att stället z ■— x icke sammanfaller med 



något af ställena a l a 2 a 3 



Nu är 



och följaktligen blir 



