20 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



Koefficienten for (z — a„)~ * vid utvecklingen af 

 — — |— ) blir således 



2 X \ Z I 



I "t — 1 



och man erhåller 



é-/^(^_-j e ,(^)-£^( ; rj ,8) 



fJU =0 



Uttrycket inom klammern på högra sidan om likhetstecknet 

 är lika med den funktion, hvilken förut (1) blifvit kallad F v (x), 

 om i densamma endast sättes m r = m. 



Formel (3) öfvergår således nu uti formeln 



*«)=«<•> + £*W H- fe (f)' 



'fe. (9) 



i hvilken samtliga talen m x m<, . . . m n äro lika med samma 

 positiva hela tal m och, G(x) är en algebraisk hel funktion 

 af x utaf gradtalet m — 1, hvilken för det fall, att nollstället icke 

 tillhör ställena a x a 2 ...a n , är lika med funktionen @ t (x) uti 

 (4), och för det fall åter, att nollstället är lika med ett ställe 

 a v bland ställena a x a 2 . . . a n , är lika med funktionen ® 2 (x) 



OD 



uti (5). I detta sednare fall omfattar summan y F v (x) äfven 



funktionen F v . {x) = G v . t-^\. 



I det föregående har blifvit förutsatt, att stället (z=x) icke 

 sammanfaller med något af ställena a, a 2 . . . a n . Det är dock 

 icke svårt att se, att formeln (9) fortbestår, äfven om x är lika 

 med ett dylikt ställe a v . Man erhåller nemligen då. 



I -31fe)" 1&s=c W + > A 



z— a„\z j o / J 



J /A. -- O 



f 1 1 



