22 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



dessa formler fortbestå äfven för x = o. Om z = o icke tillhör 

 ställena a x a 2 . . . ., blir nemligen livar och en af funktionerna 

 F x (x) F 2 (x) .... noll för # = o, och man erhåller dessutom 

 G(o) = F(p). Om åter z = o är ett ställe a v ,, hvilket tillhör 

 ställena a x a 2 . . . ., blir funktionen ^(o) lika med noll, så snart 

 v%v, och man bekommer dessutom F(o) - — F v ,(o) = G(o). 



Om samtliga ställena a x a 2 . . . . äro oväsendtligt singulära 

 ställen, blir det resultat, hvilket jag nu uti formlerna (9) och 

 (10) erhållit detsamma, hvilket jag förut härledt uti den i ll:te 

 tornen af finska vetenskapssocietetens »Acta» intagna afhand- 

 lingen »En ny serieutveckling för funktioner af rationel karakter». 



2, 



Om q och R äro tvänne positiva qvantiteter, sådana att 

 q < R, och om F(x) för alla värden på x, hvilka uppfylla vill- 

 koret 



q < | x — a j < R, 

 är en entydig monogen och regulär funktion af x, så kan alltid 

 F(x) för dessa värden på x uttryckas under formen 



hvarest Gl 1 är en potensserie, hvilken fortskrider efter hela 



positiva potenser af — — — och konvergerar för q < | x — a \ samt 



P(x — a) är en potensserie, hvilken fortskrider efter hela posi- 

 tiva potenser af (x — a) och konvergerar för \x — a | < R. 

 Detta teorem, hvilket omedelbart härflyter ur Cauchys definition 

 på en definit integral mellan imaginära gränser, är bekant under 

 namnet det LAURENTska teoremet. 



Låt nu F{x) vara en entydig monogen funktion af#, hvars 

 singulära ställen äro a, a 2 a 3 ...., och antag att dessa ställen 

 uppfylla vilkoret 



lim | a v | = co , 



