ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1882,N:o2. 23 



eller att inom h varje ändligt område för variabeln x endast fin- 

 nas ett ändligt antal singulära ställen till funktionen F(x). Mot 

 hvarje singulärt ställe svarar då alltid tvänne positiva qvantite- 

 ter q och R, sådana att F(x) för hvarje värde på x, hvilket up- 

 fyller vilkoret q < | x | < R förhåller sig regulärt. Qvantiteten 

 q kan härvid tagas huru liten som helst, hvaraf således följer, 

 att mot hvarje singulärt ställe a v svarar en största positiv qvan- 

 titet R v , sådan att funktionen F(x) förhåller sig regulärt för alla 

 x, hvilka uppfylla vilkoret O < | x | < R v . Funktionen F(x) kan 

 således för dessa värden på x uttryckas under formen 



hvarest G v (z) är en beständigt konvergerande potensserie, hvil- 

 ken fortskrider efter hela positiva potenser af z, och lß(z) är en 

 annan potensserie, hvilken fortskrider efter hela positiva poten- 

 ser af z och har till konvergensradie R„. 



Uti det föregående har jag uppvisat, att hvarje entydig 

 funktion F(x), hvars singulära ställen äro a x a 2 a 3 . . . . och 

 uppfylla vilkoret lim (a v ) = oo, samt hvilken för omgifningen af 



V = 00 



ett ställe a v kan uttryckas under formen 

 alltid kan framställas genom en serie 



v = 1 



i hvilken 



00 



F ^ = G \-~^\ + 9Å^) 



och g v (x) är en för hvarje värde på index v gifven algebraisk 

 hel funktion af variabeln x. Man har således satsen: 



»Hvarje entydig analytisk funktion F(x), hvilken inom hvarje 

 ändligt område för den oberoende variabeln endast har ett änd- 

 ligt antal singulära ställen, kan alltid framställas som en summa 

 af sådana entydiga monogena funktioner af x, att livar och en af 

 dem inom ändligt område blott har ett singulärt ställe och 



