30 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



med växande x sjunker under hvarje gräns. Om man derföre 

 framställer en godtycklig positiv qvantitet R och liksom i före- 

 gående exempel låter konturen S falla helt och hållet utanföre 

 området | z | > R och utanföre områdena \z — a v | 5 q, svarar 

 alltid mot hvarje förelagd positiv qvantitet d ett R, så stort att 



/A.)K.)[(f)-(^)-4-(*.(f)" + ^(fr + ... 



och man erhåller derföre 



00 



F(x) = G{x) + y F,Q) 



v = 1 



Man inser utan vidare, huru man medels denna formel 

 erhåller t. ex. liknande serieutvecklingar för de dubbel perio- 

 diska funktionerna af andra och första ordningen, som Gyldéx 

 gifvit för de trigonometriska funktionerna. Jag skall en annan 

 gång återkomma till denna fråga och då uppvisa, hvilken rike- 

 dom af nya formler för de elliptiska funktionerna, som har sin 

 källa i den föregående utvecklingen. 



Det är ej heller svårt att se, huru de nya utvecklingar, 

 h vilka Hermite*) nyligen gifvit för T funktionerna, omedelbart 

 härflyta ur formel (2), samt huru till dessa serieutvecklingar 

 kan läggas en mängd andra och allmännare. Då den store 

 matematikern meddelat mig, att han med det första ernår upp- 

 taga denna fråga till behandling, vill jag dock icke nu syssel- 

 sätta mig med densamma. 



En annan intressant användning af mina formler, till hvil- 

 ken jag senare vill återkomma, är att betrakta den Hermite'- 

 ska funktionen 



Q(x + co) (a_-^M\ 

 QÜoJH(x) C '\ °M j 



') »Ch. Hermite. Sur une application du théoréme de M. Mittag-Leffler dans 

 la Theorie des Functions.» Acta Societatis Scientiarum Fennic;«. Tom. XII. 



