34 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



2) en oändlig serie af hela algebraiska eller transcendenta 

 funktioner af variabeln y, hvilka samtliga försvinna för (y— 0) 



GM = c-\-y + c%-y 2 +c%f + : ■ ■ ■ 



n / \ (2) (2) <> '2) ■y 



<>') », 1 Jv) „,o . ,.(„) 



Det är då alltid möjligt att bilda en entydig analytisk 

 funktion F(x; a. v ; v = 1,2 ... .) livars singulära ställen äro stäl- 

 lena a x a 2 . . . . samt gränsstället a, hvilka ställen tillsammans 

 utgöra värdemängden P, och för hvilken differensen 



*w-ß,(^-) 



för hvarje bestämd index v för x = a v har ett ändligt och be- 

 stämdt värde, så att F(x; a v ; v— 1, 2,...) för omgifningen 

 af (x = a v ) kan uttryckas under formen 



Samtliga dylika funktioner erhållas ur formeln 

 F(x; a,; v = 1, 2, . . .) = F(x; a, ; v = 1, 2, . . .) + öj— ), 



hvarest (rl 1 är en godtycklig hel algebraisk eller tran- 



scendent funktion.» 



Detta teorem öfvergår omedelbart uti mitt teorem i pars 1, 

 om man blott sätter a = 00 och betecknar 



F(x; a„; v — 1, 2 . . .) med F(x) samt 



F(x; a v \ v = 1, 2 . . .) med F(x). 



Funktionen F(x; a,,; v=i, 2 . . .) bildas på alldeles liknande 

 sätt som i pars 1. Man fastställer nemligen godtyckligt en kon- 

 vergerande serie af positiva tal f 1 f 2 f 3 samt ett positivt 



tal 6< 1. Om a = 00 och a y = sätter man 



VM = a, (^- ; ) 



och pa samma sätt om a = och a,, = <x> 



