36 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



första arten, men hvilken i stället för det enda gränsstället a 

 har de m gränsställena a x a 2 . . . a m . 



»Låt oss som gifna antaga en värdemängd P af första 

 slaget och första arten, hvilken har de enda gränsställena 

 aj a 2 . . . a m och låt, hvilket alltid är möjligt, ställena uti värde- 

 mängden P — P' vara ordnade uti en dubbelserie 



a /n , ; f.i = i, 2 . . .; v = i, 2 . . . m 

 sådan att värdemängden 



au,,; 11= 1,2... 

 har det enda gränsstället a„. 



Låt oss vidare som gifna antaga en dubbelserie af hela al- 

 gebraiska eller transeendenta funktioner af variabeln y, hvilka 

 samtliga försvinna för (y = 0) 



/.i — 1 , 2 . . . 



v = i, 2 . . . m. 

 Det är då alltid möjligt att bilda en entydig analytisk funktion 



F(x; a lt) ,; ^ = i, 2, . . .; v = 1,2,... m), 

 hvars singulära ställen utgöra värdemängden P och för hvilken 

 differensen 



F(x)—-gJ— -L-) 



för hvarje bestämd index /n och v för x = a flr har ett ändligt 

 och bestämdt värde, så att F(x; a^,.; \.i = i, 2, . . . ; v= i, 2 y . . . m) 

 för omgifningen af (x = a uv ) kan uttryckas under formen 



Samtliga dylika funktioner erhållas ur formeln 



F(x; a liv ; (.1 = i, -2 t . . .; v = 1, 2, . . . m) = 



F(x; a^ v ; u . = 1,2,...; v — 1,2,... m) + j GÅ _ . I 



r = i 



hvarest 6r,,( 1; v = 1,2,... m; äro godtyckliga hela alge- 



\x a,,/ 



braiska eller transeendenta funktioner af .» 



