38 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



vidare att P ( ") består af det enda stället a. De öfriga vär- 

 dena i P kunna alltid på följande sätt indelas i grupper. 



Värdemängden PO- 1 ) — jp» är a v ; v= 1,2,...; med 

 det enda gränsstället a. Värdemängden P(" — 2 ) — po — 1) 

 är a^,; t u = 1, 2, . . .; * = 1,2,...; hvarest a^,,; « = 1,2,...; 

 har det enda gränsstället a v . Grupperingen fortsattes nu 

 på samma sätt, till dess man erhåller som sista grupp P — P, 

 hvilken tecknas äß y . . . ;,,„; ß = 1, 2, . . .; 7=1,2,...; 

 . . .; A = i, 2, . . .; jU.= i, 2, . . .; r — 1, 2 y . . .; hvarest 

 a /?-' • • • AavJ ß — '/ 2 / • • •' nar till enda gränsställe a ,..^ UVn 



2:o En w-faldig serie af hela algebraiska eller transcendenta 

 funktioner 



G ßv . . . ^ (3/) = c ^- ' ' '-""I y + ^ ■ • *V + c%- } -""\f + ... 

 /?=i,2,...; 7=1,2,...; ....; Å=i,2,...; ^ = 1,2,... ; v=i l 2 / ... 

 hvilka samtliga försvinna för (?/=0). 

 Det är då alltid möjligt att bilda en entydig analytisk 



funktion 



F{x; a, M ;,„,,; ,5 = 1, 2,. . .; 7=1,2,...;...; X =1,2,...; 



(.1 = i, 2, . . .; i> = 1, 2, . . .) 



hvars singulära ställen utgöra värdemängden P och för hvilken 



för hvarje gifvet värde på ßy . . . lf.iv differensen 



F{x)-G ßY ... x J— -1 ) 



\ x a ßr . . . I1.1 v 1 



för x = åp v . . . ifxy har ett ändligt och bestämdt värde, så att 



F ( a > a flr'- -x7»> ß = l > 2 >- ■ - ; y = l ' 2 >- ••'•••' l = ] , 2 <---> 



(.1=1)2,...; v = i, 2, . . .) 

 för omgifningen af # = a-,. . . . ;.„.,, kan uttryckas under formen 



Gflr ■ ■ • Xw\ x _ a ^^J + V ßr ...-,ur i x — a ßr...uJ- 



Alla funktioner, hvilka ha denna egenskap, erhållas ur 

 formeln 

 F(x; a°y . . . ;.«,,; /?=i,2, ...; 7=1,2,...; . . .; I =1,2,...; 



f.i = 1,2,...; p = 1,2,...) 

 = P(<r; a : ; r . . . >_„,,; /?= 1, 2, . . .; 7=1,2,...; . . .; I = 1, 2, . . .; 



ft = 1,2,.. .; v = 1, 2, . . .) 



