ÖFVERSIGT AF K. YETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1882, N:0 2. 39 



+ F(x; a, ;,„„; y= i, 2, . . .; . . .; I = 1,2,...; jt = 1,2,...; 



)' = 1,2,...) 



hvarest .F(#; a,, . . . ;„,.; / = i, 2, . . .; . . .; Å = i, 2, . . -. ; 



^t = i # a, — ; ?= 1,2,. . .) 



är en godtycklig entydig och monogen funktion, hvars singulära 

 ställen utgöra värdemängden P.» 



Jag antager nu, att mitt teorem är bevisadt för det fall, 

 att serien PPT'... slutar med P(»-i) = och P«=0, och vill då 

 bevisa, att detsamma gäller äfven då denna serie slutar med 

 P(« + i) = 0. Emedan teoremet gäller för n — 2, är dess allmän- 

 giltighet härmed bevisad. 



Låt oss, hvilket alltid är möjligt, bilda en serie af positiva 

 qvantiteter n r ; v = 1,2,...; sådana att a v är det enda värde 

 på x, hvilket tillhör serien a x a 2 . . . ., för hvilket | x — «,, | S q v 

 och att dessutom tvänne olika områden | x — a> v \~ Q v aldrig ha 

 något ställe gemensamt. Låt nu P vara antalet värden uti 

 P, hvilka icke uppfylla något af vilkoren \x — o,,,\S q,.. Man 

 har uppenbarligen Pjfl— 1 ) — 0. Enligt mitt antagande är det 

 då alltid möjligt att bilda en entydig analytisk funktion /(#), 

 hvars singulära ställen utgöra värdemängden P / och som uti 

 omgifningen af hvarje ställe a^ y . . . )/L(v , hvilket tillhör P, — P' 

 kan uttryckas under formen 



Gijv • • • Hiv\ 1 + P,? i (& — «j , ). 



■ rfJ ^ \x - a ßy _ _ _ U J *> ■ ■ ■ /./*A ?, V ...lwv) 



Sedan nu f(x) blifvit framställd förstår jag med P ti sam- 

 manfattningen af de värden af P hvilka tillhöra områdena 

 \x — a- I S q, , ; v = i, 2 t . . .; och bildar, hvilket enligt mitt an- 

 tagande alltid är möjligt, för hvarje index v en funktion 



F>,(x; a ßiiVu . . . Kflu y, ß„ = i, 2, ...;/„= 1, 2, ...;.. .; 



hvars singulära ställen utgöra de ställen uti värdemängden P, 

 hvilka tillhöra området | .2; — a„\SQ v , och som uti omgifningen 

 af hvarje dylikt ställe a^...^,, hvilket på samma gång 

 tillhör P ti — P' kan uttryckas under formen 



