ÖFVERSIUT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1882, N:0 1 43 



Härmed är då det första af mina båda allmänna teorem bevi- 

 sadt. Det sednare lyder: 



»Låt oss som gifna antaga: 

 l:o En värdemängd P af första slaget och »:te arten. Antag 

 vidare att PM består af de ra ställena a } a., . . . a m . De 

 öfriga värdena i P kunna alltid på följande sätt indelas i 

 grupper. 



Värdemängden P(«-D_ PM är a flv ; ^=1,2...; 

 v = \ / 2 t . . . ra; hvarest a uv ; « — i, 2, . . .; har det enda 

 gränsstället a v . Värdemängden P0~ 2 ) — PO- 1 ) är a )a)l ; 

 l = i, 2, . . .; ,«=1,2,...; »'=1,2,... ra, hvarest a )uv ; 

 1 = 1,2,...; har det enda gränsstället a (ir . Grupperingen 

 fortsattes härefter på samma sätt, till dess man erhåller 

 som sista grupp P — P, hvilken tecknas a a ß Y . . . ),a V 

 a = 1, 2, . . .; ß = 1,2,...; y = i, 2, . . .; . . .; A = 1,2,... 

 f.i = 1, 2, . . .; x» .= 1 2, . . .; hvarest då a a( <jy . . . ^ v 

 a = 1, 2, . . .; har till enda gränsställe a Y . . . ;.,«,<. 



2:o En n-faldig serie af hela algebraiska eller transcendenta 

 funktioner 



G«ßr ■ ■ • lt*Åy) = 



(itSy...),fi,v) (aßy ... ).fiv) (ußy ... /.fir) 



c -i -y + c -2 -r + c _ 3 -f+ 



a = 1, 2, . . .; ß = 1, 2, ... ; 7=1,2,...; . . .; I — 1, 2, . . .; 



,u = 1,2,...; v = 1, 2, ... ra, 



hvilka samtliga försvinna för (y = 0). 



Det är då alltid möjligt att bilda en entydig analytisk funktion 



F(x; a aßl) ;.„,,; a = i, 2, . . .; /? = 1, 2, . . .; y = 1, 2, . . .; . . .; 



A = 1, 2, . . .; ,«=1,2,...; 1/ = 1, 2, . . . ra), 

 hvars singulära ställen utgöra värdemängden P, och för hvil- 

 ken för h varje gifvet värde på aßy . . . Xf.iv differensen 



F(x) — G u ,iy . . . ia, i — I 



för x = a l( p r . . . iu V har ett ändligt och bestämdt värde, så att 



F(x; a a p, ;.„,,; a = 1, 2, . . .; ß = i, 2, . . .; y = 1,2,...; ... 



1= 1,2,..; u = 1,2,...; v = 1, 2, ... ra) 



