44 M1TTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



för omgifningen af x — a a p v . . . ?„„ kan uttryckas under formen 



&a fr • • • ).(*A r _„ + Paßt tA**(*~ a a ß. U „). 



\ x a a,iy . ../.uv i 



Alla funktioner, hvilka ha denna egenskap, erhållas ur formeln. 



F(x; a tt ß Y . .\ Xuv ; 0=1,2,...; /?=i,2,...; 7=1,2,...; ...; 

 I — 1,2,..'.; ß = 1,2,...; v = 1, 2, . . . ?w) 



= F(x; a U ß. ^„j = 1/2,...; /? = 1,2, . . .; y = 1,2,...; . ..; 



Ä = 1,2,...; in = 1,2,...; v = 1,2,... m) 



+ F(x; a ßv . . . llA , v \ ß= i, 2,.. .; 7=1, 2, ...;...; 1= 1,2,...; 



^i = 1,2,...; V = 1, 2, ... m) 



hvarest F(x; a ßy . . . )ulJ ; 0=1,2,...; 7=1,2,...; . . .; 

 I = 1 , 2, ...;/< = 1 , 2, ... ; v = 1 , 2, . . . m) 



är en godtycklig entydig och monogen funktion, hvars singulära 

 ställen utgöra värdemängden P.» 



Jag antager också här, att mitt teorem är bevisadt för det 

 fall att serien P, P, P" . . . slutar med P (n) = samt bevisar, att 

 det då också gäller, när denna serie slutar med P( w+1 )=0. Eme- 

 dan teoremet gäller för n = 2, är det då bevisadt för hvarje 

 positivt heltalsvärde på n. 



Emedan teoremet gäller för P(") = kan man bilda m enty- 

 diga monogena funktioner 



F„(x; a ußv . . . X/tv ; a = 1, 2, ...; ß— 1, 2,. . .; 7=1,2,...; ...; 

 I = 1,2, .. .; (.i = 1,2, .. .), 



V = 1,2,... W, 



sädana att funktionen P„ för omgifningen af ett ställe a U fy.---x,uv 

 kan uttryckas under formen 



Gtißy ■ • • JUr — — + PO üaßy • • • ;./<-r)- 



\x a ußy ...luv' 



Man erhåller då 



PO; a W/?y . . . Ui> , ; o = 1,2,...; /i = i ( 2,...; 7 = 1,2,...;...; 

 i — 1,2,...; ,« = 1,2,...; v = 1,2,... m) 



