i4 DILLNER, OM INTEGRATION AP MFFERENTlALEQVATtONER. 



(4) P{X) = (X- \f\ . . (X- b m f m , 

 samt låta M 1 ,..., M fl vara hela positiva tal, satisfierande likheten 



(5) M 1 + ... + ¥„ = r; 

 under dessa vilkor sätta vi med hjelp af (1), (2) och (4) följande 

 algebraiska eqvation, i det vi antaga koefficienterna g Q , g x , . . . 

 i (1) variabla, 



(6) Gn(X) = P(X) — c f (X) 

 der G är koefficienten till högsta digniteten af X i högra ledet. 

 Af denna eqvation härledas följande tvä eqvationssystem, 



(7) P(X il ) = c P (X )J )( Q = l,2,... fl ) 

 och med stöd af (1), 



(8) Gn(c,,) = P(c )( Q = 1,2,... v). 



Emedan funktionen P(X) i (4) är oberoende &? X x , ..., X„, 

 så öfvergår identiteten (3), med stöd af systemen (7) och (8), i 

 följande differentialeqvation, 



--f.i 



(9) X!'^^^ L=o ' 



en eqvation, som följaktligen satisfieras af rötterna X x , . , ., X^, 

 af de respektive ordningarna M x , . . ., M u , till eqvationen (6). 



Anm. 1. Enligt anm. 1 i N:o 12 af min ofvan citerade af- 

 handling eger differentialeqvationen (9) äfven bestånd, om två 

 eller flere af rötterna c x , c.,, . . . äro lika. 



Anm. 2. I öfverensstämmelse med ofvan citerade afhand- 

 lingar ligger i vilkoret, att i (9) P(X) är af högre grad än U>(X), 

 en försäkran om möjligheten för en af rötterna till cf(X) att 

 växa öfver all gräns. Man kan äfven härleda eqvationen (9) frän 

 eqvationen (12) i ofvan citerade uppsats i Comptes-rendus, i det 

 man multiplicerar denna eqvation med ( — a) och låter sedan a 

 växa obegränsadt; under de gifna vilkoren försvinner då högra 

 ledet, och differentiationsresultatet af den så erhållna eqvationen 

 öfverensstämmer fullkomligt med eqvationen (9). 



2. På grund af lika rötter i eqvationen (6) böra följande 

 eqvationer, till anta'et M x + . . . + M u = v, satisfieras, 



