22 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



Satsen lyder: 



»Låt oss som gifna antaga: 



1) en oändlig serie af bestämda ändliga storheter a x a 2 a 3 ... , 

 hvilka alla äro olika hvarandra, och alla äro mindre än en sif- 

 ven qvantitet R, samt dessutom äro underkastade vilkoret 



lim J a v | = R, 



v =00 



samt 



2) en oändlig serie af hela algebraiska eller transcendenta 

 funktioner af variabeln y, hvilka samtliga försvinna för (y = 0): 



ö 1 (y) = o2? 1 .y + ^ ) ,.y* + ^ ) 8 .y» + 



G 2 (y) = c^\.ij + c% .y 2 + c% . y 3 + 



O) „. , J v ) „.2 , „OO 



ö,(y) = cw.y + ^v-y a + c -s-y^ + 



Det är då alltid möjligt att bilda en analytisk funktion F(x), 

 hvilken, så snart x icke öfverskrider området | x J < B, är en 

 entydig monogen funktion, hvilken icke har några andra sin gulära 

 ställen än 



och för hvilken, för x = a r , och vid hvarje bestämdt värde på 

 j-, differensen 



har ett ändligt och bestämdt värde, så att F(x) för omgifningen 

 af (x = a r ) kan uttryckas under formen 



G,[^hå + »(—«.)•■ 



Om i stället för R sättes oo , öfvergår detta teorem i mitt 

 ofvanberörda teorem uti Pars 1 af min afhandling i Ofversigtens 

 Februarihäfte. Har åter R ett ändligt värde, kan likväl F(x) 

 bildas på alldeles liknande sätt som då R = oo . Man fastställer 

 iiämJigen en serie af positiva qvantiteter 



£ 1 ^2 € 3 • • • - 



