24 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



är en likformigt konvergerande serie, och för hvilken man så- 

 ledes erhåller 



30 



_f„(.,) = G„,(-J_) + *,(,- a,,.). 



V =1 



Nu återstår att besvara frågan om formen för den allmännast 

 möjliga funktion F(x), hvilken har samma egenskaper, som blifvit 

 fordrade af F(x). Man ser genast, att differensen F(x) — Fix) är 

 en potensserie, hvilken konvergerar inom området |#|< i?, och man 

 ser också, att om G{x) betyder en godtycklig dylik potensserie, så har 



F(x) + G(x) 



samma egenskaper, som blifvit pålagda F(x). Man erhåller derföre 



J\ x ) = F{x) + G{x). 



Det kan inträffa att på linien j x \ = R finnas singulära 

 ställen till F(x), hvilka ligga »öfverallt tätt» '). I detta fall är 

 F{x) en entydig analytisk funktion, hvilken endast existerar inom 

 linien J x j = R. Men det kan också inträffa att de singulära 

 ställena till F(x) icke ligga öfverallt tätt på linien | x \ = R. 

 I detta fall kan F(x) fortsättas utöfver denna linie och har ett 

 existensområde, h vilket i h varje fall sträcker sig utöfver om- 

 rådet j x | < R. 



Man inser utan svårighet, att det är möjligt att åt det nu 

 bevisade teoremet ge samma allmänna form, som åt det all- 

 männaste af mina teorem uti pars 3 af afhandlingen i Ofver- 

 sigtens Februarihäfte. Det är också lätt att visa att området 

 | x | < R kan ersättas af ett annat godtyckligt begränsadt område. 



En vigtig fråga är följande. Om F(x) är en gifven funk- 

 tion af den angifna arten, är det då också alltid möjligt att 

 på ett enkelt sätt bestämma G(x) 9 . Om det också icke finnes 

 en för alla fall lika enkel metod att utföra denna bestämning, 

 är det dock här, liksom då R = oo , lätt att finna metoder, hvilka 

 för vissa allmänna klasser af funktioner på det enklaste sätt 

 möjliggöra denna bestämning. 



') »ueberall dicht», enligt Cantors terminologi. D. v. s. det finnes icke något 

 stycke af linien, huru litet som helst, hvilket icke innehåller oändligt många 

 dylika singulära ställen. 



