18 DILLNER, OM N-KROPPARS PROBLEMET. 



(33)^^ = 0, 



r = 1 



en eqvation, som således utsäger, att summan af /.t differen- 

 tialer med algebraiska koefficienter af ang if v en form är noll 

 under vilkor, att de u variablerna X x , . . . , X /( , äro rötter af 

 de respektiva ordningarne M l , . . . , M a till den algebraiska eqva- 

 tionen (28) m,ed variabla koefficienter, samt att yj(X) n är af 

 lägre grad än P(X) och JP(X) af icke högre grad än cp(X) n . 



Vi kalla eqvationen (33) en symetrisk differentialekvation 

 med algebraiska koefficienter af negativ dimension. 



På grand af lika rötter i eqvationen (28) bör enligt C. (13). 

 följande system af {M x + . . . + M a ) eqvationer satisfieras: 



wjn(X)=o*j<™= o,. . -Tf^f = o(,=i,2,...,„). 



Vi ha nu att iakttaga följande, två hufvudfall af eqva- 

 tionen (28): 



l:o n > 1 ; antalet variabla koefficienter g ,...,g v är nu 

 (med undantag af ett i C. angifvet enskildt fall) mindre än an- 

 talet (il/j + . . . + M u ) eqvationer i (34), hvadan genom elimi- 

 nation af dessa koefficienter variablerne X x , . . . , X fi bli af 

 h varandra beroende; 



2:o n= 1; då koefficienten g v antages konstant, är nu de 

 variabla koefficienternas antal v lika med eqvationernas antal 

 (M 1 + . . . + M, A ) i (34), hvadan variablerna X x , . . . , X u äro 

 af hvarandra oberoende. 



8. På grund af här ofvan gjorda utvecklingar kunna vi 

 uttala följande sats, såsom uttryckande en fundamental egen- 

 skap hos algebraiska funktioner: endast differentialer med alge- 

 braiska koefficienter af negativ dimension kunna satisfiera en 

 differentialeqvation af formen (33), då variablerna X x , . . . ,X iU 

 äro af hvarandra beroende eller oberoende, allt efter som nämda 

 koefficienter äro af irrationel eller rationel form. 



