22 RAMSAY, NÅGRA SATSER OM 1RRATIONELA TAL. 



hvaraf omedelbart följer, att ett irrationell tal under formen (A) 

 aldrig han vara periodiskt samt 



om ett irrationelt tal, a, framställes under formen 

 (A), så måste i serien af talen p v minst tvänne tal 

 förekomma oändligt ofta. 

 Om ett positivt reelt tal, a, är gifvet under formen (A), 

 (under hvilken vi i det följande städse tänka a), så är det ofta 

 möjligt, att omedelbart finna ett positivt helt tal, M, sådant, att 

 i den till Ma hörande serien af talen p v ett föreskrifvet af talen 

 0, 1, . . . n — 1 intager ett godtyckligt faststäldt rum (d. v. s. 

 hör till ett godtyckligt valdt v). Om t. ex. a är ett irrationelt 

 tal, så kan man städse finna en sådan positiv hel potens af n, 

 att i produkten af a med denna uti serien af talen p v hvilket 

 som helst af de oändligt ofta i den till « hörande serien (p,,) 

 förekommande talen intager ett godtyckligt rum. Man kan nu 

 ställa sig frågan, huruvida det alltid är möjligt, att, under för- 

 utsättning att a är ett irrationelt tal (hvartill grunden i det 

 följande lätt inses), finna ett positivt helt tal M sådant, att i 

 den till Ma hörande serien p v ett godtyckligt föreskrifvet af 

 talen 0, 1,.2, . ... n — 1 hör till ett godtyckligt valdt v. En 

 undersökning häraf för till följande vida allmännare sats, hvars 

 bevisande utgör ändamålet för denna af handling: 



I: Om a är ett positivt irrationelt tal, så är det alltid möj- 

 ligt att finna ett positivt helt tal M sådant, att i den 

 till Ma hörande serien (p v ) på ett godtyckligt faststäldt 

 rum förefinnes en godtyckligt föreskrifven ändlig räcka 

 af tal ur serien 0, I, 2, . . . n — 1, uti hvilken räcka hvart 

 och ett af de nämnda talen upprepadt får förekomma. l ) 

 hkt k beteckna antalet möjliga sammanställningar af q tal, 

 hvilka tillhöra talserien 0, 1, . . . n — 1, hvarvid hvart och ett 

 af dessa tal kan förekomma flere gånger i en och samma af de 



') Denna sats finnes utan bevis meddelad i författarens afhandling: »Diskussion 

 af den analytiska funktion, af hvilken binomialserien utgör ett element samt 

 fullständig undersökning af denna series konvergens». Akademisk afhandl. 

 Helsingfors 1881. 



