ÖFVEHSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 188 2, N:0 9. 23 



nämnda k grupperna af q tal; afskilj vidare i den till a hörande 

 serien (p,,) utgående från ett godtyckligt tal p h en räcka af 

 af (k + l)q tal och indela denna i grupper om q tal i hvarje, 

 då måste nödvändigt åtminstone tvänne sådana grupper inne- 

 hålla samma tal i samma ordning, ty antalet grupper öfver- 

 skrider med ett antalet möjliga olika grupper. På samma sätt 

 inses genast, att, om man afskiljer 2k + 1 grupper af ofvan 

 angifven art utgående från ett gifvet tal p h \ bland dessa grup- 

 per åtminstone tre måste förekomma, hvilka innehålla samma 

 q tal i samma ordningsföljd, samt helt allmänt, att, om man 

 utgående från ett tal p h afsöndrar /.ik + 1 grupper af ifråga- 

 varande beskaffenhet, bland dessa åtminstone« + 1 måste före- 

 komma, hvilka innehålla samma q tal i samma ordningsföljd. — 

 Denna egenskap hos serien (p,,) gäller oberoende deraf, om a är 

 rationelt eller irrationelt. 



Vi fastställa nu, att a är ett irrationelt tal, samt uppsöka 

 i serien (p v ) på ofvanangifna sätt tvänne ordningstal h och k 

 sådana att- h < k samt 



Ph = fh, Ph+l = Pk-+ l, "'• '• ■ Ph + q=Pk + q 



Nu kan det inträffa att p h + q + i = p k + q + 1 o. s. v., men, eftersom 

 a är ett irrationelt tal, måste man slutligen finna ett q' så stort, 

 att p h + q + q ^pi. + g + q : Vi sätta q + q' = s + 1 samt antaga 

 1 :o p h = p ki p h + ! == p k + ! , . . . p h + s = p k + s , p h + , + 1 < p k + s + 1 

 Bildar man nu talet (n k — h a — a) = {n k ~ h — l)a, så finner 

 man, att i den till detsamma hörande serien (p v ) 



Ph = 0, p h + 1 = 0,. . .p h + s = 0, p Ä + , + i > 

 Härvid kan talet h uppenbarligen göras större än hvilket god- 

 tyckligt valdt tal v som helst. Tager man derför It tillräckligt 

 stort, så kan man genom att multiplicera {n l ~' h — l)a med en 

 lämplig potens, n l , af n åstadkomma, att den senaste talräckan 

 intager en föreskrifven plats i talserien (p,,), som hör till den 

 nämnda produkten. — Talet n l (n k ~ n — 1) beteckna vi nu med 

 (r, s), der r antyder platsen för det tal, som följer efter den 

 sista nollan i den angifna talräckan samt s antalet nollor, som 

 säkert föregå talet p r . Sådana tal (r, s) kunna uppenbarligen 



