24 RAMSAY, NÅGRA SATSER OM IRRATIONELA TAL. 



bildas i oändlighet. Vi tänka oss nu tvänne tal (r 4 1, s + 1) 

 och (r, s) bildade, samt så, att (r + 1, s + 1) > (r, s), hvilket 

 åstadkomraes, om man vid bildandet af (r + 1, s + 1) tager 

 h tillräckligt stort; då är tydligen i den till {(V + 1, s + 1) — 

 (r, s)}a hörande serien (p v ) 



Pr-s = p r -s + i= ••• =.p r -x = n — 1, 0<p r < n — 1 

 2:o p h — p k , p h +i = pn.+ ii • ■ -Ph + s = Pk+ si Ph + s + i> Pk + s + i 

 Då är i den till (w* _Ä — l)a hörande serien (p v ) 



ph =ph + i = •'■ '•■• —ph + s — »■— '1, Pa + ^ + i < « — 1 

 Åfven nu kan man taga A så stort, att man genom att multi- 

 plicera (n k - h — l)a med en lämplig positiv hel potens af n kan 

 åstadkomma, att talet p h + s + i intager en godtyckligt vald plats 

 i den till den nämnda produkten hörande serien (p,). Likasom 

 ofvan beteckna vi denna produkt med (r, s)a, hvarvid betydel- 

 sen af r och s genast inses. Vi bilda vidare tvänne tal (r+ 1, 

 s + 1) och (t, •?) på så sätt, att (r + 1, s + 1) > (r, s), då är 

 uppenbarligen i den till l(r + 1, s + 1) — (r, s)\a hörande se- 

 rien (p„) 



jp r _ t —p r - s + i — ... . =p,— l = 0, p r > 



Härmed hafva vi följande sats: 



II: Om a är ett positivt irrationelt tal, så är det alltid möj- 

 ligt att finna ett positivt helt tal, m, sådant att i den 

 till ma hörande serien (p v ) en föreskri/ven räcka antager 

 värdet noll eller (n — 1). 



Vi skola nu visa, att, om man i den till a hörande serien 

 (p„) har 



p r - 2 = P,— \ = 0, p r > , 



det städse är möjligt att finna ett helt tal m sådant, att uti 

 serien (p v ), som hör till ma, talet p r —<z förblir = under det 

 pr-i blir ett. — Ar p r — 1, så har man blott att sätta m = n 

 och vi behöfva endast bevisa satsen för det fall att p r > 1. 

 (Vi kunna äfven utesluta det fall att n = 2, ty då är p r = 1.) 

 Vi bilda nu ett helt tal m sådant, att 



mp r = n + y, y < p r > 

 hvarvid y bestämmes genom formeln 



