ÖFVERS1GT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1882, N:0 9. 25 



n + y , t + y t* + V = Pr eller 

 m = J - = s + "- , { _ n 



då har man 



m(p,. + l) = n + y + s + l eller m(jp r + 1) = n + y + s. 

 För att m skall uppfylla våra ofvanställda fordringar är således 

 tillräckligt, att städse 



y + s + 1 < n 

 Att detta är möjligt inses lätt, ty antag 



l:o p r <-k-, då är, emedan sp r "Sn och s<-^-, 



s + y = s + (j9 r — i) = s + p r — n + s/?,. < n och således, 

 emedan s + y 'år ett helt tal, s -t- y + 1 < n 



2:o p r > -|- , då är s — 1 och således, emedan y <.p r = n — 1 



s + y + l < ?i 

 3:o p r = -~- , då är 5 — 2, y = 0, t således äfven nu 



s + y + 1 < w 

 Om således m bildas på det här angifna sättet, satisfierar det 

 samtliga fordringar i vår sats. Kombinera vi detta resultat med 

 det nyss erhållna, så kunna vi numera uttala följande sats: 



III: Om a är ett positivt irrationelt tal, så år det städse 

 möjligt att finna ett helt tal [r, s] sådant, att man i 

 serien (p„), som hör till [r, s \a, har 



p r - s = Pr-s+l = ... = pr-l == 0, p r = 1 



Medels denna sats kommer man lätt till följande: 



IV. Om a är ett positivt irrationelt tal, så är det städse 

 möjligt att finna ett helt tal (r, s, t) sådant, att man i 

 serien (p„), som hör till (r, s, t)a, har 



Pr-s=Pr-s+l = • • -Pr- 1 = 0; p r +\ =J?»-+2 == • • ■ Pr+t = 



p r = q , 

 der q är hvilket som helst af talen 1, 2, 3, . . . n — 1. 

 Enligt sats (II) är det möjligt att bilda t + 1 positiva 

 hela tal 



N ß = (r + ß + 2,- s + ß + 2) , ß =) 1, 2, . . . * + 1 

 sådana, att uti den till (r + ß + 2, s + ß + 2) a hörande serien 

 (p r ) talet s + ß + 2 betecknar antalet nollor som i nämnda 



