26 RAMSAY, NÅGRA SATSER OM IRRATIONELA TAL. 



serie föregår talet pj. +( j +2 , hvilket icke är noll. Sedan dessa tal 

 bildats kan man enligt sats III bilda ett tal [r, s], som är 

 större än 



(n — l) 2 \ (r + ß + 2, s + ß + 2) 



Nu kan man uppenbarligen, genom att upprepade gånger sub- 

 trahera talet N x a från [r, s]a åstadkomma att talet p r uti se- 

 rien (p v ), som hör till [V, s]a, hvilket är ett, förblir oförändradt 

 likasom ock de före detsamma stående s nollorna, under det 

 p r +i efter hand minskas, tills man har p r+1 = 0. Antalet sub- 

 traktioner kan ej öfverskrida talet (n — l) 2 ; vi beteckna deras 

 antal med // r Uti talet |[r, s] — /-h^A har man alltså ett po- 

 sitivt helt tal af den beskaffenhet att i den till l[r,s] — ^NAa 

 hörande serien (p v ) 



p r _ s = ...= p r _ 1 = O, p r =. 1 , p r+1 = O 

 På samma sätt kan man genom upprepad subtraktion af talet 

 N 2 a från det senast erhållna åstadkomma, att den just angifna 

 räckan förblir oförändrad samt p r ^ 2 blir lika med noll. Antalet 

 af dessa subtraktioner beteckna vi med /u T Pä detta sätt er- 

 hålles slutligen ett positivt helt tal 



M = [r, s] — ^iV - ! — {i 2 N 2 —...—ßt + iNt+i 

 sådant, att man uti den till Åla hörande serien af tal (p v ) har 



p r _ s = . . . ==p. r -i =0; p r ■= 1; p r+1 = . . . =p r + t + 1 = 0. 

 Multipliceras slutligen Ma med talet q så uppfyller talet Mq 

 samtliga i satsen på talet (V, s, t) stälda fordringar. 



Numera erhålla vi utan svårighet vår sats (I). Ty om vi 

 önska ett positivt helt tal M sådant, att man uti den till Ma 

 hörande serien (p v ) har 



p r = 9j , p r+ i = q 2 , . . . , p r +s = q s , 

 så har man blott att enligt sats (IV) bilda följande tal 

 (?', o, s + l) för p r = q x \ (r + 1, 1, 5 + l — 1) för p r+1 = q 2 ; 

 o. s. v., der X är ett positivt helt tal, som uppfyller vilkoret 



ri>- > s > n'- — l , 

 samt slutligen sätta 



