241 



Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1868. N:o 8. 



Om vilkoren för rötternas till algebraiska eqvationer 



realitet. 



Af C. F. Em. Björling (j:r). 



[Meddeladt den 11 Mars 1868.] 



Vi antaga i det följande, att f(x) betyder en, efter de af- 

 tagande digniteterna af x ordnad, algebraisk, rationel och het 

 funktion af n:te graden, deruti koefficienten för x n är positiv. 



Sätta vi y=f(x), så motsvaras naturligtvis hvarje reel x- 

 valör af en enda, reel och finit valör af y. Det är ock tydligt, 

 att både y och alla dess derivator äro kontinuerliga. 



Eqvationen y=f(x) representeras alltså i det vanliga rät- 

 vinkliga koordinat-systemet af en sammanhängande kurva, som 

 sträcker sig från yttersta venstern till yttersta högern och ska- 

 res af hvarje vertikal linie, men blott i en enda punkt af hvarje. 



Denna kurva kan, på grund af det anförda, icke ega några 

 andra singulära punkter än inflexioner och i allmänhet kontakts- 

 punkter med rätliniga tangenter af hvilken ordningsnummer som 

 helst p n — 1. Hon har en oändlig branche åt hvardera sidan. 

 Den högra sträcker sig alltid uppåt, den venstra uppåt eller 

 nedåt, allteftersom u är jemnt eller udda. Ingendera af dessa 



fr] t 



brancher kan hafva någon rätlinig asymptot, ty x, y och -z 



blifva oändligt stora på samma gång. Ytterst åt venster och 

 ytterst åt höger vänder kurvan sin konvexa sida åt «-axeln. 



Abscissan för hvarje punkt, der kurvan skär ^-axeln utan 

 att tangera den, är en enkel rot till eqv. f(x) = 0. Har kor- 

 van deremot i någon punkt en enkel kontakt med .?>axeln, så 

 motsvaras denne uppenbarligen af en dubbel rot till samma eqva- 



