242 ÖFVERS1GT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR, 186 8. 



tion, och i allmänhet hvarje punkt, der kurvan har med «-axeln 

 en kontakt af (m — l):sta ordningen, af en m-faldig rot (m^n). 



Vi antaga nu till en början, att vår kroklinie skär «-axeln 

 i n särskilda punkter, d. v. s. att alla rötterna till eqv. /(«) = 

 äro reella och olika. Mellan hvarje par skärningspunkter måste 

 kurvan hafva åtminstone en vändpunkt, d. v. s. dess ordinata 

 öfvergå från aftagande till växande eller tvärtom. Hela antalet 

 vändpunkter är således åtminstone n — 1. Mot hvarje sådan 

 svarar, som bekant, en rot af udda ordning till eqv. /'(«) = 0. 

 Men det är tydligt såväl, att dessa sistnämnda rötter måste 

 vara enkla, som ock att kurvan icke kan ega mer än en vänd- 

 punkt mellan hvarje par skärningspunkter, ty i motsatt fall skulle 

 eqv. y'(V) = hafva flere än n — 1 rötter. Vi kunna alltså 



uppställa följande 



Theorem 1. Om alla rötterna till eqvationen /(«) = äro 

 reella och olika, så äro rötterna till f ' (x) = det äfven, samt 

 till sina lägen alternerande ,med de förra. 



Såsom ett korollarium härtill följer, att kurvan har n — 2 

 inflexionspunkter, omvexlande med vändpunkterna, samt att in- 

 gen dess inflexions-tangent kan vara parallel med «-axeln. 



Vi vilja nu tillse, om och under hvilka förbehåll detta theo- 

 rem kan omvändas, och antaga fördenskull, att alla rötterna 

 till eqv. /'(«) ~— äro reella och olika. Så mycket är då till 

 en början klart, att kurvan y = /(«) — vi vilja benämna den 

 primitiv till åtskillnad från den sekundära t] =y'(V) — måste 

 hafva n- — 1 vändpunkter, samt att ingen af dess n— 2 inflexions- 

 tangenter är parallel med «-axeln. Afvenså inses lätt, att dess. 

 vändpunkter äro omvexlande maxima och minima, samt att dess 

 form ej det ringaste förändras, hvilken konstant man än må 

 tillägga till dess eqvations sednare membrum, emedan denna för- 

 ändring blott motsvaras af en förflyttning af «-axeln parallelt 

 med sig sjelf. 



Mellan tvenne rötter till eqv. /'(«) = kan blott en enda 

 rot till /(«) = vara belägen. Ty mellan tvenne vändpunkter 



