BJÖRLLNG, 051 RÖTTERXA TILL ALGEBRAISKA EQVATI0NER. 243 



är den primitiva kurvan beständigt stigande eller fallande och 

 kan således blott en enda gång passera ^'-axeln. 



Om nu den primitiva kurvans vändpunkter ligga omvexlande 

 på livar sin sida om .r-axeln; hvilket enligt det föregående är 

 liktydigt med, att alla dess maxima äro positiva, och dess mi- 

 nima negativa, så måste uppenbarligen mellan den första och 

 den sista af dem n — 2 skärningspunkter, d. v. s. n — 2 enkla 

 rötter till eqv. f(jß) = O, förefinnas. Härtill komma ytterligare 

 tvenne rötter, belägna å hvar sin sida utanför de begge yttersta 

 vändpunkterna, och i denna händelse äro således alla de n röt- 

 terna till /(#) = O reella och olika. 



Om något af funktionens /(#) maxima eller minima är = O, 

 så är naturligtvis den motsvarande abscissan en dubbel rot till 



/» = o. 



Om något enda minimum är positivt, så minskas skärnings- 

 punkternas antal med två, nemligen med dem, som skulle ligga 

 mellan detta minimum och de båda angränsande maxima. Nå- 

 gra andra skärningspunkter kunna naturligtvis ej i stället till- 

 komma, och således blifva i detta fall tvenne rötter till y(#) = 

 komplexa. 



För hvarje annat positivt minimum kan samma slutledning 

 upprepas och likaså för hvarje negativt maximum. 



Resultatet af denna undersökning kunna vi alltså samman- 

 fatta i följande 



Theorem II. Om alla rötterna till eqvationen /'(V) = O äro 

 reella och olika, så äro rötterna till f(x) = O det äfven, såframt 

 funktionens f (a:) alla maxima äro positiva, och minima negativa. 

 För hvarje maximum eller minimum, som är = O, blifva tvenne 

 rötter lika. För hvarje positivt minimum eller negativt maxi- 

 mum blifva tvenne rötter komplexa. 



Antagom nu, att ett antal 2 m (^ n — 1) af rötterna till 

 f (x) = O äro komplexa, samt de öfriga reella och olika. Den 

 primitiva kurvan har då n — 2m — 1 vändpunkter ocli ingen 

 inflexions-tangent parallel med /»--axeln. Mellan tvenne vänd- 

 punkter kan hon ej hafva mer än en punkt gemensam med x- 



Öfvera. af K. Vet.-Akad. Förh. Arg. 25. N:o 3. 4 



