244 ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR, 1867. 



axeln och således aldrig mer än »i — 2m reella rötter. För 

 öfrigt kunna föregående slutledningar nästan oförändrade upp- 

 repas, och det kan således ej möta någon svårighet att inse 

 sanningen af följande sats, hvilken i sjelfva verket innefattar 

 under sig den föregående såsom ett enskildt fall. 



Theorem III. Om 2m rötter till eqvationen f'{x) = är o 

 komplexa, samt de öfriga reella och olika, så äro alltid åtmin- 

 stone 2m rötter till f(x) = komplexa. De öfriga n — 2m 

 äro reella och olika, såframt funktionens f(x) alla maxima äro 

 positiva, och minima negativa. För hvarje maximum eller mi- 

 nimum, som är = 0, blifva tvenne rötter lika. För hvarje po- 

 sitivt minimum eller negativt maximum blifva tvenne rötter kom- 

 plexa. 



Om eqv. f'(x) = har en 2m-faldig rot, så har den pri- 

 mitiva kurvan i motsvarande punkt en kontakt af 2m:te ord- 

 ningen med en horizöntel tangent. Sammanfaller denna tangent 

 med ,^-axeln, så är punktens abscissa naturligtvis en (2m + 1)- 

 faldig rot till f(x) = 0; sammanfaller den icke, gå 2m skär- 

 ningspunkter förlorade, 



Om slutligen eqv. f'(x) = Q har en (2m — l)-faldig rot 

 x = a, så har den primitiva kurvan i motsvarande punkt en kon- 

 takt af (2m — l):sta ordningen med en horizöntel tangent, och 

 således en vändpunkt. Sammanfaller denna tangent med .»-axeln, 

 så är punktens abscissa naturligtvis en 2m-faldig rot till f(x) 

 = 0; sammanfaller den icke, så gå 2m — 2 skärningspunkter 

 förlorade, om f(a) är ett positivt maximum eller negativt mi- 

 nimum, samt 2m, om f(a) är ett negativt maximum eller posi- 

 tivt minimum. 



Dessa resultater kunna vi uttrycka på följande sätt: 



Theorem IV. En 2m-faldig rot x = a till f'(x) = minskar 

 antalet af eqvationens f(x) — - reella rötter med 2m, såframt 

 icke f (a) är = 0, då a är en (2m + l)-faldig rot till f (x) == 0. 



Theorem V. En (2m — T)-faldig rot x = a till f ' (x) = 

 minskar antalet af eqvationens f (x) — reella rötter med 2m — 2, 

 om f(a) är ett positivt maximum eller, negativt minimum, ocl 



