BJÖRLIXG,. OM RÖTTERNA TILL ALGEBRAISKA EQVATIOXER. 245 



med 2m, om f(a) år ett negativt maximum eller positivt mini- 

 mum. Är f(a) = 0, så år a en 2m-faldig rot till /(#) = 0. 



Theoreraerna II — V kunna sammanfattas i ett enda, hvil- 

 ket vi emellertid, på grund af dess vidlyftighet, här ej upptaga. 



Vi vilja nu, såsom en första tillämpning af dessa satser, 

 undersöka vilkoren för rötternas till den allmänna 3:dje-grads- 

 eqvationen 



F (a:) = x z + a.v 2 + bx + c = 

 realitet. Den deriverade eqvationen är 



3 x 1 + 2ax + b = 0, 

 och dess rötter 



— a — Va 2 — 3fi — a — R /, , , . . 



Q! = - — B — — = 3—, (kortehgen) 



3 



Vi särskilja nu trenne fall. 



A) a 2 > 36, d. v. s. den deriverade eqvationens rötter reella 

 och olika. 



o x är uppenbarligen < (> 2 - Man inser lätt, att F^) måste 

 vara ett maximum, F(q 2 ) ett minimum, och vilkoren för, att 

 alla tre rötterna skola vara reella och olika, blifva alltså 



27 F (oj = 2a :5 — 9ab + 27c + 2R (a- — 36) > 0, 

 samt 27 F(q 2 ) = 2a* — 9 ab + 27c — 2R (a 2 — 36) < 0. 



Emedan F(q x ) och F(q. 2 ) icke kunna samtidigt förändra 

 sina tecken, kan man sammanfatta dessa tvenne vilkor i ett och 

 säga, att alla tre rötterna till förestående eqvation äro reella 

 och olika, om 



Fio^.FiQ,) är <0, 

 hvilket gifver 



(2a 3 — 9«6 + 27c) 2 — 4ß 2 (a 2 — 36) 2 < 

 eller A = 46 3 + 4a :{ c — aW + 27c 2 — 18a6c < 0. 



Sammaledes erhåller man såsom vilkor för, att tvenne nit- 

 ter skola vara lika 

 J = 0; 



