246 ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR, 1868. 



samt, för att tvenne rötter skola vara komplexa, 

 J>0. 



B) ar — 36, d. v. s. den deri'verade eqvationens rötter reella 

 och båda = — -&• 



I denna händelse äro antingen alla tre rötterna till 

 F(x) = reella och = — ■=•, nemligen om 



hvilket gifver, utom hufvudvilkoret, 



a 3 = 27c, 

 eller ock äro två rötter komplexa. 



C) a 2 < 3b. Den deriverade eqvationens rötter äro nu kom- 

 plexa, följaktligen ock tvenne, af 3:dje grads-eqvationens. 



I de vanliga läroböckerna i eqvations-theori förenklas mer- 

 ändels 3:dje-grads-eqvationen till formen 



x z -\-px + 9 = 0, 

 och man finner säsom vilkor för "casus irreductibilis" 



4p 3 + 27g 2 < 0, 

 hvilket uppenbarligen öfverensstämmer med-, det föregående. 



Såsom en andra tillämpning af våra theoremer, skola vi 

 undersöka beskaffenheten af rötterna till eqvationen 



Cf { x ) = 5a< 6 + 12^ 5 .— 15# 4 — 30a- 3 + 30.» 2 + k = 

 för olika valörer af k. Den deriverade eqvationens 



x b + 2x* — 2x 3 — 3^ 2 + 2x = 

 rötter äro alla reella och olika, och deras valörer, ordnade efter 

 storleken, 



y-5+1 Yh-1 



— 2 ' — 2 — ' 



Den primitiva kurvan har en uppstigande branche till ven- 

 ster; dess första vändpunkt är alltså ett minimum. Valörerna 

 af cp (ob) i de särskilda vändpunkterna äro 



