35 



ÖfVersigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1873. N:o 8. 

 Stockholm. 



Försök till ett nytt bevis för en sats inom de defi- 

 nita integralernas teori. 



Af Gösta Mittag-Leffler. 



[Meddeladt den 8 Oktober 1873.] 



I följd af den stora vigt, de definita integralernas teori eger 

 för den matematiska vetenskapen, torde försöket att framställa 

 ett nytt bevis för den sats, som vid en systematisk framställ- 

 ning af denna teori bör intaga första platsen, icke få anses för 

 alldeles onyttigt. 



Denna sats lyder: 



Värdet af integralen 



ff{x)dx (1) 



a 



är oberoende af det sätt, hvarpå integrationen bli/vit verkstäld, 

 såvida den väg, efter hvilken man integrerat, helt och hållet 

 faller inom ett område af planet, för hvilket f(x) är ensvarig 

 och monogen och inom hvilket inga oändlighetspunkter äro belägna. 

 Det bevis, vi här skola lemna för denna sats, hvilär derpå, 

 att derivatan 



f( x )= lim *• + *)-*•) (2) 



mod {jx) = o " x 



af en ensvarig, monogen och ändlig funktion af x, f(x), har ett 

 enda, ändligt och be stäm dt värde, hvilket är oberoende af 

 det sätt, hvarpå <dx närmat sig noll, så snart de punkter, hvilka 

 fixeras af x + Jx, ständigt varit belägna inom det område af 

 planet, för hvilket f(x) är ensvarig och monogen. 



Denna egenskap hos derivatan af en monogen funktion kan 

 uppställas såsom definition på funktionens monogeneitet eller ock 



