38 MITTAG-LEFFLER, DE DEFINITA INTEGRALERNAS TEORI. 



Om man adderar formlerna (4), efter att ha multiplicerat 

 den första med x x — x, den andra med x 2 — x x , den r:te med 



(5) 



x r — sc r — i etc, så erhålles, om man skrifver 



t//f\ ■ X 



\X r X r — \)£\r 



"O ■ — *"p — X , 



r—p 



t*r = 



(x r —X t —\)f{Xr-l) 



+ -2(x r + -(Xr—Ct) X r -1 -{x r -i — Of ))/(#»•- 1 + -{x r -\ — Of)) 



+ .£(#,. Xr-l}Sir 



Ofvergår man nu till limes med qvantiteterna, 



yX r X)- — i^, 



så erhålles 



^ff(x)dx = ^ff(x)dx + lim { 2 (x r — x r -i) g v ) (7), 



"a "o, (a;,. — x r _i) = o r x 



om man kallar den med a likformiga kontur, som beskrifves af 



x r -t — (x r — a), för a,. 



På samma sätt som formel (7), erhållas följande formler: 

 ~ff(x)dx = ^ff(x)dx + lim { 2 (>v — av _ x ) g ir } 



(ÖJ 



^fA X ) dx — zfi\ X ) dx + lim { ^ (*r _ *r-l)S*r} 



(av-# r -i) — O 



jjf(x)dx = j t ff(x)dx + lim { 2{x r — äv_i) g qr } 



a 9 -i o, q (x r — x r _ l ) = o T ' 



r (8), 



—ff(x)dx = -ff(x)dx + lim { 2 (av — # ; ._i)c,Y,r} 



««-i ^ (a; r — a;,._]) = o r=1 



i hvilka man betraktar konturen a q såsom beskrifven utaf qvan- 



titeten 



x + q —(x — a). 



Summeras formlerna (8), så erhålles, om manf dividerar 

 med n: 

 -ff(x)dx = -ff(x)dx + - 2 lim 2 {(* r — av- 1) g qr ] (9). 



"a "jd 9_1 (a; r — x r ._^) — o T ~ l 



Låter man i formeln (9) n konvergera mot oändligheten, så blir: 

 lim l-JSlim 2 {(x r -r-Xr-i)g q r}\ = o (10), 



ä = oo v (x T —x r _ l ) = o 



och formeln (9) ofvergår således till formeln (3). 



