40 MITTAG-LEFFLER, DE DEFINITA INTEGRALERNAS TEORI. 



Man har dessutom såsom en omedelbar följd af definitionen' 

 på definit integral, att 



ff(x)dx = ff(x)dx + ff{x)dx (15), 



abxca abx xca 



samt att 



ff(x)dx = -ff(x)dx (16), 



xca acx 



och följaktligen är 



ff(x)dx=ff(x)dx (17), 



abx acx. 



h. s. b. 



Teorem 4. 



Värdet af integralen 



ff(x)dx 



, abx 



är oberoende af det sätt, hvarpå integrationen längs vägen, abx, 

 blifvit verkstäld. 



Detta teorem är en omedelbar följd af teorem 3, och er- 

 hålles, om man blott observerar, att formel (17) är giltig, huru 

 än integrationen längs vägarne abx och acx blifvit gjord. 



Vi sammanfatta nu teoremen 3 och 4 uti följande teorem: 



Teorem 5. 



Om f(x), för ett visst område af planet, är ensvarig, mo- 

 nogen och ändlig, och a samt x äro tvänne punkter belägna 

 inom detta område, så har integralen 



ff(x)dx 



a 



ett enda värde, hvilket är fullkomligt oberoende af det sätt, hvarpå 

 integrationen blifvit verkstäld, såvida blott den väg längs hvilken 

 man integrerat till alla sina delar faller inom det ofvannämda 

 område, inom hvilket f(x) är ensvarig, monogen och ändlig. 



Gången af den bevisning, vi här begagnat, är den samma, 

 som blifvit använd af Riemann. Han deducerar först teorem 2 

 och härleder sedan ur detta teorem 3, såsom ett omedelbart 

 korollarium. Den metod vi användt för deduktionen af teorem 

 2 genom förmedling af teorem 1, äfvensom beviset för detta 

 teorem äro dock fullkomligt olika de af Riemann begagnade. 



