6 GYLDÉN,. EN NY LÖSNING TILL DET KEPLERSKA PROBLEMET. 



Användningen af utvecklingen (2) gestaltar sig vida beqvä- 

 mare, såvida denna ordnas efter potenserna af z i st. for funk- 

 tionerna z 3 , z 5 , o. s. v. Den härtill erforderliga transformationen 

 är ytterst lätt att verkställa. Man har nämligen följande all- 

 männa uttryck, der n betecknar ett udda tal, 



n_ ^ n(» a — l a ) 1. , n^ - V) («' - 3 2 ) 1 5 



1 ~ + 1.2.3 2 2 S + 1.2.3.4.5 2 4 ~ + • • • » 

 föreligger således en serie af formen 



S = ß 1 z + ß s z s + ß,z, + . . . 

 så finner man koefficienterna i serien 



<S = «,£ + a 3 z 3 a 6 z~' + . . . 

 ur följande uttryck: 

 Kl=A + 3fr + 5fr + ... 



« 3 =fr + 5fr + 14fr + 30fr + 55fr x + 91fr 3 + 140fr 5 + . . . 

 « 5 =& + 7fr + 27fr + 77fr, + 102fr, + 378fr- + 714fr 7 + . . . 

 a 7 =ß 7 + 9fr + 44fr, + 156fr 3 + 450fr 5 + 1122fr 7 + 2508fr 9 + . . . 

 a 9 =ß 9 + 11fr, + 65fr 3 + 275fr 5 + 935fr 7 + 2717fr 9 + 7007fr, + . . . 

 a n =ß n + 13fr 3 +90fr 5 +442fr 7 + l729fr 9 + 5377fr 1 + 16744fr 3 -f . . . 

 a 13 =fr 3 + 15fr 5 + 119fr 7 + 665fr 9 + 2940fr, + . . . 

 «15=^5 + 17fr r + 152fr 9 + 952fr, + . . . 

 « 17 =fr 7 + 19fr 9 + 189fr, + .. . 



•'l9 = Ä 9 + 21fr, + ... 



Man erhåller sålunda ett uttryck af denna form 

 g = a x z 4- a z z* — a $ z 5 + . . . 

 der medelanomalin g bör vara uttryckt i delar af radien. I detta 

 uttryck äro de tvenne första termerna till höger i allmänhet 

 vida större än de följande, och detta desto mer, ju mindre ban- 

 excentriciteten skiljer sig från enheten. Man erhåller derföre 

 ett tillnärmelsevis riktigt värde för z genom att uppsöka den 

 reella roten till eqvationen 



g = or, c + a z z z . 

 Härvid kan man begagn sig af de Barkerska tabellerna. Sättes 

 nämligen 



='V& 



