4 BJÖRLING, OM ALGEBRAISKA RYMDKURVOR. 
ZÄUNE IE ers enn lur 
(1) OLE 20) TOR 
der % W, yx f betyda hela funktioner. Mot hvarje A-värde 
svarar en punkt af kurvan och omvändt; endast mot en dubbel- 
punkt två olika 2-värden. De parametervärden, som motsvara 
kurvans skärningspunkter med planet 
(2) Xx + Yy + Zz + Ww = 0, 
satisfiera eqvationen 
(3) X.) + Y.w0) + Z.x0) + W.£fF() = 0. 
Densamma har en dubbel rot, d. v. s. planet har på något 
ställe tva konsekutiva punkter gemensamma med kurvan, derest 
tillika 
4) DEE ADA ÖEE 
planet tangerar i sådant fall kurvan på det ifrågavarande stäl- 
let,, derest ej 
(5) pa) _WA) _xXU) _F@) 
ga) yo) zu Fa) 
Antagom nemligen, att dessa tre eqvationer satisfieras af 
4=4,. Af eqvationen (3) följer da alltid (4), hvilka X, Y, 
Z, W än må vara; hvarje genom den ifrågavarande punkten 
(2,) gående plan har således derstädes två punkter gemen- 
samma med kurvan, och "denna har följaktligen der en spets 
eller stationär punkt (#)!). Hvarje A-värde, som satisfierar de 
tre eqvationerna (5), angifver alltså en dylik singularitet. 
Om jemte (3) och (4) äfven vilkoret 
(6) X.qQ(V+Y.:-WOO)+Z. yx) + W.f" (1) =0 
är uppfyldt, har planet (2) på något ställe tre konsekutiva 
punkter gemensamma med kurvan och är följaktligen oskule- 
rande eller »ett plan i systemet». Vi betrakta (2) såsom 
»mellanform», d. v. s. X, Y, Z, W sasom den gifna kurvans 
plankoordinater eller, som är detsamma, såsom punktkoordinater 
för dess reciproka kurva. Af (3), (4) och (6) erhålles 
!) Vi begagna de vanliga beteckningarne «, f£, 6 för antalen af en rymd- 
kurvas stationära plan, punkter och tangenter, men äfven, då intet miss- 
förstånd kan ifrågakomma, för att helt kort beteckna en enda singularitet 
af ifrågavarande slag. 
