ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1881, N:o 4. 7 
För 2 =0, d. v. s. i planets skärningspunkt med den ur- 
sprungliga rymdkurvans tangent i O, har denna plana kurva 
en (m — I, n— l)-punkt, alltså en singularitet, eqvivalent med 
m-—l—1 spetsar (x) (se ofvan). Men hvarje spets i en deve- 
loppabelns plana snittkurva representerar en skärningspunkt 
mellan planet och antingen developpabelns kuspidalkurva eller 
en dess stationära tangent (9). Då det förra alternativet här 
ej kan ifrågakomma, så följer att 
En (l, m, n)-punkts singularitet är egvivalent med m—l!l—1 
stationära tangenter (6). 
Denna egenskap är uppenbarligen reciprok till sig sjelf. 
$ 4. Allteftersom, en index (den första, andra, tredje) är 
udda (u) eller jemn (f), öfvergår kurvan i O från ena till andra 
sidan om det motsvarande planet (det arbiträra, tangerande, 
oskulerande) eller icke. En reel kurva måste alltså i O förete 
någon af följande åtta former: 
a) (u, j, u) d. v. s. första och tredje indices udda, den andra 
jemn; kurvan genomgår det arbiträra och oskulerande pla- 
net, men ej det tangerande. Enklaste typen härför är 
(1, 2, 3), den vanliga, icke-singulära punkten. 
b) (u, j, 3). Enklaste fall: (1, 2, 4), stationärt plan (9). 
c) (w, u, j). Enklaste fall: (1, 3, 4), stationär tangent 9). 
d) (u, u, uw). Enklaste fall: (1, 3, 5), förening af de båda 
nyssnämnda singulariteterna. 
e) (j, u, j). Enklaste fall: (2, 3, 4), stationär punkt ($). 
f) (Ja w, u). Enklaste fall: (2, 3, 5), förening af « och £. 
9) (5, 5, u). Enklaste fall: (2, 4, 5), förening af # och £. 
h) (j, js 3). Enklaste fall: (2, 4, 6), förening af alla tre singula- 
riteterna 1). | 
Af dessa åtta former är tydligen b) reciprok till e), och 
d) till g), men enhvar af de öfriga till sig sjelf. 
1) Af samtliga dessa åtta former af kurvan samt dess tangentdeveloppabel 
har jag konstruerat trådmodeller, hvilka finnas på Lunds universitets mate- 
matiska instrumentsamling. Cartonmodeller till formerna a), b), c) och e) 
äro utgifna i verket: »Quatre modeles représentant des surfaces dévelop- 
pables par V. MALTHE BRUUN et C. CRONE». 
