BACKLUND, OM DEN PLANA KURVAN AP TREDJE ORDNINGEN. 719 



dessa punkters sammanbindningslinier med en fast punkt y på 

 C 3 ; så stå de serier, hvilka dessa linier vid transversalens vrid- 

 ning beskrifva, till hvarandra i följande relation. Hvarje rät 

 linie A skär C s , utom y, i två punkter a, a', hvilkas samman- 

 bindningslinier med c träffa C 3 i ännu två punkter b, b'. Deras 

 sammanbindningslinier med y äro två linier B, så att derföre 

 en linie A bestämmer tvä linier B. Af samma grund skall 

 omvändt en linie B bestämma två linier A; och då nu vidare 

 en godtycklig transversal genom y, betraktad såsom en linie A, 

 bestämmer samma två räta linier tillhörande serien B, som 

 transversalen, betraktad såsom en linie B, bestämmer till- 

 hörande serien A: så är klart att, om eqvationen för A är 

 a — Xß = o och eqvationen för B är a — (iß = o, mellan X 

 och u måste bestå en eqvation, som är af andra graden för 

 dem begge och symmetrisk i afseende på dem. D. v. s. man 

 måste hafva: 



(2) . . . X 2 (i 2 + A.X(,(X+(t) + B(X- + (i 2 ) + CX(i+B(X + u) + E=o, 

 hvarest A, B, . . E äro konstanta storheter, endast beroende af 

 lägena för c och y. 



Det kan förtjena anmärkas att de linier B, hvilka motsvara 

 en rät linie oändligt nära yc och sålunda yc sjelf (såsom en 

 linie A), äro: l:o sammanbindningslinien af y med tangential- 

 punkten för c; 2:o tangenten till C 3 i punkten y. 



7. Om genom punkten y man lägger en konisk sektion K y 

 för öfrigt hvilken som helst, och o, o' betyda dess öfriga skär- 

 ningspunkter med två motsvarande linier A, B (föreg. art.); så 

 utmärkes genom en eqvation af formen (2) vilkoret för att od skall 

 vara tangent till en konisk sektion C. Hvarje linie a — Xß = o 

 träffar nemligen K, utom y, i en punkt o, från hvilken två tan- 

 genter kunna dragas till C. Deras öfriga skärningspunkter med 

 K, sammanbundna med y, bestämma två linier a — (.iß = o; och 

 omvändt. Vidare se vi att en arbiträr transversal genom y, 

 betraktad såsom en linie i serien a — Xß = o, bestämmer samma 

 två linier i serien a — (iß = o, som transversalen, betraktad 



