BACKLUND, 051 DEN PLANA KURVAN AF TREDJE ORDNINGEN. 725 



Häraf följer att genom y, y x och de fyra skärningspunkterna 

 (AA'), (BB), (CC), (BD) kan läggas en konisk sektion K Den 

 knippa koniska sektioner C, hvars kurvor motsvara de serskilda 

 punkterna på C ?> , när K tankes i förening med y, är då (10) 

 fullkomligt densamma som, punkterna på C 3 motsvarande, knip- 

 pan C, när K sättes i förening med y x . Men hvarje serskild 

 konisk sektion C motsvarar — respektive y — två punkter c, c\ 

 och — respektive y x — två andra punkter c x , c\. Det sätt, på 

 hvilket två, samma koniska sektion C motsvarande, punkter c, c x 

 bero af hvarandra, bestämmes lätt af de efterföljande två sat- 

 serna. 



I. Om y, y x , 1 äro tre punkter i rät linie på C 3 och o är 

 kurvans beröringspunkt med en tangent från 1, samt genom o 

 dragés en linie L, hvars öfriga skärningspunkter med C z äro 

 a, a x , så ligga de två återstående skärningspunkterna mellan C 3 

 samt linierna ya, y x a A på en andra rät linie U genom o. 



Systemet af räta linierna ya, y x a v 10 kan nemligen uppfattas 

 som en kurva af tredje ordningen, hvilken, då den träffar C 3 i 

 sex punkter y, y x , 1, a, a x , o, liggande på två räta linier ty och L, 

 nödvändigt måste skära kurvan i ytterligare tre punkter på en 

 rät linie L'. Den tredje skärningspunkten mellan C 3 och 10 är 

 åter o sjelf, så att derföre linien IJ går genom o. 



Om ya är tangent till C z i punkten a, så är a sjelf den 

 tredje skärningspunkten mellan kurvan och linien ya; i' samman- 

 faller då med L, så att nu y x a x blir tangent i punkten a x . 



II. När a genomlöper kurvan C s och a x fortfarande är 

 skärningspunkt mellan C 3 och oa, så beskrifva linierna ya en 

 knippa, homografisk med linieknippan y x a x ; och om A, B, C äro 

 tre tangenter från y, A', B'. C tre tangenter från y x , så skall 

 en likhet i anharmoniskt förhållande af följande slag ega rum: 

 (A, B, C, ya) = (A', B', C, y x a x ), 



Ty enligt föregående sats motsvarar hvarje linie ya ett par 

 räta linier L, L, hvilka bestämma en enda linie y x a x , och om- 

 vändt, hvarje läge y x a x bestämmer ett enda läge ya; hvilket 

 bevisar, att anharmoniska förhållandet mellan fyra linier ya är 



