34 BJÖRLING, OM EQVIV. T. HÖGRE SINGULARITETER I ALGEBR. KURVOR. 



tion i x och y innehåller utom dessa variabler (åtminstone) en 

 föränderlig parameter och således representerar ett system af 

 oändligt många kurvor; samt att för något visst värde på denna 

 parameter, singulariteter, som i det allmänna fallet äro skilda, 

 förena sig till en enda. Men för att denna sistnämnda må vara 

 eqvivalent med de förra, erfordras naturligtvis äfven, att den 

 variabla kurvans karakterer ej undergå någon förändring vid 

 parameterns variation; det är väl bekant, att motsatsen ofta 

 nog intränar, att en speciel kurva i systemet kan ega t. ex. en 

 dubbelpunkt mer än den allmänna kurvan. Häraf följer ock 

 bland annat, att vi ej kunna anse den välbekanta satsen: »En 



m-faldig punkt med skilda tangenter är eqvivalent med mm — 



dubbelpunkter», bevisad dermed, att man — såsom det någon 

 gång sker — endast ådagalägger, att den kan bildas genom 

 sammansmältning af dessa sednare. Satsens sanning är emed- 

 lertid, som bekant, på åtskilliga andra sätt uppvisad. 



§ 1. I det följande antaga vi alltjemt, att den singularitet, 

 som skall undersökas, är belägen i origo O, och förstå, i likhet 

 med Hr Cayley (1. c), med en »gren» af kurvan den geome- 

 triska representanten af eqvationen 



(1) y = a((*))" + &((*))" + c((*))- + , 



der serien fortgår efter stigande potenser af %, och koefficien- 

 terna hafva fullt bestämda värden. Begreppet är, som man ser, 

 identiskt med Puiseux' »cirkulärsystem» af m särskilda ^-vär- 

 den, hvilka öfvergå i hvarandra, när den oberoende variabeln 

 beskrifver »elementar-konturer» kring den kritiska punkten. De 

 geometriska representanterna af dessa m ?/-värden benämna vi 

 med Hr Cayley »partial-grenar». Ar, såsom vi här för enkel- 

 hets skull alltid antaga i fråga om en ensam gren, ,^-axeln tan- 

 gent dertill i O, så är n > m. 



För att skilja kurvans grenar i O från hvarandra har man, 

 som bekant, att införa dess termer i den Newton- Cramer'ska 

 triangeln och sammanbinda de punkter, som representera dessa 



