36 BJÖRLING, OM EQVIV. T. HÖGRE SINGULARITETER I ALGEBR. KURVOR. 



och sätta derpå y = 1, så visar sig, att P är en binomisk siu- 

 gularitet [n, n — m\. Vi beteckna dess eqvivalenter med d", x", 

 x", l" och hafva således in alles 8 obekanta. 



Den reciproka kurvan till (2) är af alldeles samma slag 

 som denna sjelf. Enveloppen till linien 



(5) as§ + rjy — 1 , 



der £, r) äro löpande koordinater, samt x, y förbundna medelst 

 (2), är nemligen 



(6) v =(-»») — ^=— -S 0- 



Punkten O och #-axeln i kurvans (2) system motsvara uppen- 

 barligen oo-linien och punkten P i kurvans (6). Alltså är sin- 

 gulariteten [n, m\ reciprok till singulariteten [n, n — m~], och 

 följaktligen 



(7) å" = t', x" = i, i" = å', i" = st'. 



Vidare erhållas tvenne eqvationer genom undersökning af 

 första polaren. Punktens P första polar i afseende på (4) är 



m — 1 n — m „ 



(8) y z = 0; 



emedan linien y = har n punkter gemensamma med (4) i O, 

 hafva (4) och (8) derstädes n(m — 1) punkter gemensamma. 

 Ingen af dessa är kontaktspunkt för någon från O till (4) dra- 

 gen tangent, och emedan h varje dubbelpunkt af en kurva absor- 

 berar två, och hvarje stationär punkt tre af densammas och 

 första polarens gemensamma punkter, är 



(9) 20' + 3x' = n(m— 1). 



') Räkningen kan lätt verkställas sålunda. Man sätter x = «"', y — ba n (der 

 b m = a, och a är en föränderlig parameter) och har alltså blott att söka 

 enveloppen till 



«"'! + ba n r] = 1. 



Ur denna likhet och 



ma m ~ 'I + n6« n-, 7j = 

 erhålles 



n m 



(n — m) «'" ' b {m — n) a" ' 



hvilket öfverensstämmer med det ofvan anförda. 



