ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 187 8, N:0 7. 37 



På samma sätt erhålles, genom undersökning af skärnings- 

 punkterna i P mellan kurvan och punktens O första polar, 



(10) 2(5" + Sx" = n (n — m — J). 



Vidare erhålles en eqvation genom undersökning af Hesse S 

 kurva 



7i — 2 2m — 2 2n — 2m — 2 



(11) x y z = 0. 



Densamma har i O uppenbarligen m{n — 2) + n(2m — 2) 

 punkter gemensamma med (4). Som dessa måste utgöras af 

 kurvans (4) i O belägna 



l:o) dubbelpunkter, af hvilka en hvar absorberar sex skär- 

 ningspunkter; 

 2:o) stationära punkter, af hvilka enhvar absorberar åtta dy- 

 lika; samt 

 3:o) inflexioner, 

 erhålles 



(12) 6<5' + 8/ + i' = 3mn — 2m - 2n l ). 

 Slutligen får man 



/-iqn w .V" , 'i " (ra — l)(w — 2) 



(13) o-ro + x + x = g , 



på grund deraf att (4) är unicursal. De åtta eqvationerna (7), 

 (9), (10), (12) och (13) gifva 



(14) d' = t" = {{m — l)(n — -3), x' = i" = m — 1, 



(15) z' — ö" = \(n — m — i)(n — 3), *' = ■/' = n — m — 1, 

 eller, i ord uttryckt, följande: 



Teorem. En binomisk singularitet [n, m~], der n är > m, 

 och båda äro relativa primtal, är eqvivalent med \(m — l)(n — 3) 

 dubbelpunkter + (m — 1) stationära punkter + \(n — m — l)(n — 3) 

 dubbeltangenter + (n — m — 1) stationära tangenter. 



§ 3. Vi öfvergå nu till beräkning af å' och x för en po- 

 lynomisk gren, hvars eqvation må vara (1). Det första af de 

 hithörande teoremen är följande: 



') Genom undersökning af kurvornas (4) och (11) i P belägna skärningspunkter 

 erhåller man på samma sätt 



6c)" + 8*" + i" = (ra — m) (n — 2) + ra (2ra — %n — 2), 

 men denna eqvation följer af (7), (9), (10) och (12), samt är derföre ej af 

 något gagn. 



